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http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7181976.htmlで質問させていただいたものです。
上記URLの質問での解答
ANo.5 の
>z=x^4+y^4-4x^2-4y^2+8xy
>zx=zy=0より停留点は
>(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2)
なのですが、(0,0)はすぐでたのですが、(2,-2)、(-2,2)はどのようにして求まるのでしょうか。
ただの方程式だとはおもうのですが、うまく出せません。代入して正しい解であることは確認できたのですが、その解の求め方を教えていただけるとありがたいです。
簡単な質問で申し訳ありません。大分解き方を忘れてしまっているようなのでご容赦願いたいです。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
前の質問の回答者です。
>上記URLの質問での解答 ANo.5 の
>z=x^4+y^4-4x^2-4y^2+8xy
>zx=zy=0より停留点は
>(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2)
>なのですが、(0,0)はすぐでたのですが、
>(2,-2)、(-2,2)はどのようにして求まるのでしょうか。
計算されたのなら途中計算を書いて質問するようにして下さい。
zx=4x^3-8x+8y=4(x^3-2x+2y)=0 …(A)
zy=4y^3-8y+8x=4(y^3-2y+2x)=0 …(B)
(A)+(B)より
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=0
x+y=0 …(D) または x^2-xy+y^2=0 …(E)
(E)のとき
x^2-xy+y^2=(x-(y/2))^2+(3/4)y^2=0
y=0かつx=y/2 ∴(x,y)=(0,0) …(F)
(D)のとき
y=-x …(G)
(A)に代入
x^3-2x-2x=x(x-2)(x+2)=0
x=0,x=2,x=-2
(F)に代入して
(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2) …(H)
(F),(H)をまとめたのが(A),(B)の解となります。
No.2
- 回答日時:
え? 「(1) のほう」って, どういう意味? 連立方程式なんだから, 「(1) のほう」も「(2) のほう」もなく「両方成り立たせないとダメ」でしょ?
(1), (2) ともに因数分解できて, 計 4通りの組み合わせから適切なものを選べばいい... わけだけど, 先に (2) を処理した方が楽.
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