相似比の問題です

いつも、丁寧な回答ありがとうございます。

また、引き続きの投稿すみません。問題集にあった問題で、近くに聞ける人がいないので立て続けに投稿させていただきました。

問題は、次の通りです。

Ｑ：四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＤ、ＣＤ上の点、ＧはＡＦとＢＥとの交点である。

　ＡＥ：ＥＤ＝２：１、ＣＦ：ＦＤ＝１：１のとき、次の問いに答えよ

１．ＢＧ：ＧＥを最も簡単な整数比で表せ

２．ＡＧ：ＧＦを最も簡単な整数比で表せ

答えは、１が３：１で２が１：１となります。

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/14 16:30

Ｑ：四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＤ、ＣＤ上の点、ＧはＡＦとＢＥとの交点である。

　ＡＥ：ＥＤ＝２：１、ＣＦ：ＦＤ＝１：１のとき、次の問いに答えよ

>１．ＢＧ：ＧＥを最も簡単な整数比で表せ

>２．ＡＧ：ＧＦを最も簡単な整数比で表せ

２．の方が先に答えが出てくるのですが、両方とも混ぜ合わせた感じで説明します。

点ＦからＡＤ，ＢＣに平行になるように線分を引き、ＢＦとの交点をＨ、ＡＢとの交点をＩとします。

１）
ＦＩ，ＡＤ，ＢＣは平行だから、ＢＩ：ＩＡ＝ＢＨ：ＨＥ＝ＣＦ：ＦＤ＝１：１になります。

△ＢＥＡにおいて、上のことよりＢＩ＝ＩＡ，ＢＨ＝ＨＥだから、
中点連結定理（知ってますよね？）によって、ＩＨ＝（１／２）ＡＥ

ＡＥ：ＥＤ＝２：１より、ＡＥ＝（２／３）ＡＤ……（１）

よって、ＩＨ＝（１／２）ＡＥ＝（１／２）・（２／３）ＡＤ＝（１／３）ＡＤ
ＡＤ＝ＩＦだから、ＨＥ＝ＩＥ－ＩＨ＝ＡＤ－（１／３）ＡＤ＝（２／３）ＡＤ

よって（１）より、ＡＥ＝ＨＥ……（２）

△ＡＥＧと△ＦＨＧは合同です。
ＡＥとＨＦが平行だから、角ＥＡＧ＝角ＨＦＧ，角ＡＥＧ＝角ＦＨＧ、
さらに（２）より、１辺と両端の角が等しいからです。

よって対応する辺は等しいので、ＡＧ＝ＧＥ　よって、ＡＧ：ＧＥ＝１：１（２．の答え）

また、ＨＧ＝ＧＥより、ＨＧ：ＧＥ＝１：１……（３）

２）
ＢＨ：ＨＥ＝１：１より、ＢＨ＝（１／２）ＢＥ……（４），ＨＥ＝（１／２）ＢＥ

（３）より、ＨＧ＝（１／２）ＨＥ＝（１／２）・（１／２）ＢＥ＝（１／４）ＢＥ……（５）

同じくＧＥ＝（１／２）ＨＥ＝（１／４）ＢＥ……（６）

（４），（５）より、ＢＧ＝ＢＨ＋ＨＧ＝（１／２）ＢＥ＋（１／４）ＢＥ＝（３／４）ＢＥ

（６）よりＢＧ：ＧＥ＝（３／４）ＢＥ：（１／４）ＢＥ＝３：１

よって、ＢＧ：ＧＥ＝３：１（１．の答え）

分数が多くて大変かもしれませんが、図と良く照らし合わせて考えてみて下さい。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

なるほど！

少し解き方が難しそうですが、頑張ってみます。

ありがとうございます。

お礼日時：2012/01/07 00:48

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/14 17:27

訂正があります。

申し訳ありません。

>よって、ＩＨ＝（１／２）ＡＥ＝（１／２）・（２／３）ＡＤ＝（１／３）ＡＤ
>ＡＤ＝ＩＦだから、ＨＥ＝ＩＥ－ＩＨ＝ＡＤ－（１／３）ＡＤ＝（２／３）ＡＤ
>
>よって（１）より、ＡＥ＝ＨＥ……（２）

のところ、

ＡＤ＝ＩＦだから、ＨＦ＝ＩＦ－ＩＨ＝ＡＤ－（１／３）ＡＤ＝（２／３）ＡＤ

よって（１）より、ＡＥ＝ＨＦ……（２）

のように、お願いします。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

お礼日時：2012/01/07 00:49

No.2 回答者： at9_am 回答日時： 2011/12/14 16:20

図のようにおくと

△HEC∽△HABは明らかであり、AB:EC=2:1からBH:CB=2:1よりBH = 2CH = 2BC
△AEG∽△HBGは明らかであり、
AE:ED=2:1
だから
BH:AE = 6:2 = 3:1
よって
BG:GE = 3:1

同様にして
AG:GF = 1:1

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

なるほど！

さっそくやってみます！

お礼日時：2012/01/07 00:47

No.1 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/12/14 15:59

ひとつ前の問題よりこちらの方が分かりやすいかも知れませんね。

以下、ヒントのみです。

１）ＡＦをそのまま延長してＢＣの延長線上の交点をＨとする。
（相似となる）△ＦＡＤと△ＦＨＣの比は？
（相似となる）△ＧＢＨと△ＧＡＥの比は？　（ＡＥとＢＨの比を計算して求める）


２）同様に、ＢＥをそのまま延長してＣＤの延長線上の交点をIとする。
（相似となる）△ＥＡＢと△ＥＤＩの比は？
（相似となる）△ＧＡＢと△ＧＦＩの比は？　（ＡＢとＦＩの比を計算して求める）


平行四辺形は相似の条件が出しやすい（補助線を引けばあらゆるところに相似の関係が出来易い）ので、分かり易いと思います。

ご参考に。