高校力学 定滑車における糸の張力

こちらは高校三年生です。

糸の張力を考察するときに、「糸の質量を無視する」とあると、運動方程式において糸の重力と加速度×質量の部分が無視できるので糸の張力は糸のどこでも一定だとできるという記述を目にしました。

「ma=T-T'-mg」 　→「0=T-T'」 ⇔　「T=T'」　（糸の質量をm、両端に張力T・T'が働いているケース）

そこで質問二つ質問があります。
(1)定滑車の場合では糸についての運動方程式はどのような形になるのでしょうか?　(ここでは、天井に定滑車をつるして糸をかけています)
定滑車と糸の間には垂直抗力が働き、それらを考慮して運動方程式を立てたのですがこの場合でT=T'(両端での張力が等しい)という結果が出せません...

(2)重さの無視できる定滑車に働く合計の張力は２Tであるというのも、運動方程式から導き出せないのでしょうか?このときも糸と滑車の接している面全体に働く垂直抗力を考えると、訳が分からなくなってしまいました。

摩擦については無視していますが、ある時にどうなるのかもよかったら教えてください。.
その他の条件、糸の伸び縮みなどはどの条件をどのように定めれば良いのか分からないのでもしあったらそれも含めて教えてくださると助かります。

もしも、運動方程式とはまた別のアプローチで「張力はどこでも一定」、「滑車には２Tの力が働く」のふたつを証明できるならばそれを教えてくださっても大丈夫です。

冬休みなので先生に会えなくて質問が出来ないので、投稿させていただきました。不足な点がありましたら教えてくださいm(_ _)m

No.6 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/31 22:18

＞摩擦力による回転運動への影響はが滑車の両端の張力による滑車の回転軸のまわりのモーメントによって

＞代表されるという意味だと解釈したのですが大丈夫でしょうか?

この文章を読むかぎりはそれでいいと思います。
実際に滑車をまわす力は糸に沿って働く摩擦力なのですが、
問題を解くときはそれは忘れてしまって滑車の両側の張力で考えればいいということです。

＞その際に垂直抗力は位置ベクトルと平行なベクトルだからモーメントが0になり回転運動には関与しないということですか?

位置ベクトルを「回転中心と作用点を結ぶベクトル」に書き換えればそのとおりです。
(一般には回転中心が原点にあるとは限らない。)
振り子の運動で糸の張力が振り子運動に寄与しないのと同じです。

＞自分は垂直抗力はこの場合では糸が滑車を押しつけている力の事を言っているのですが間違っていますか?

これは半分正しいです。
本質には関係ありませんが、垂直抗力は「糸が滑車を押しつけている力」の反作用です。

ただ、本質的には問題がないので力の理解に少し問題があったようですね。
このご質問では糸の張力を考えていますので、糸に沿って働く力を扱う必要がありました。
なので、この場合に糸に垂直に働く垂直抗力は直接は関係がありません。
(動摩擦や静止最大摩擦のように糸に沿った力が垂直抗力に比例する場合には間接的に関係してくる。)
なのに垂直抗力が出てくるので、どうも読んでいて違和感がありました。

この回答へのお礼

なるほど。わかりました。
垂直抗力についてのことも納得できました!

ここまで高校生の質問に付き合っていただいてありがたかったです。
普段、質問攻めにしているくせでつい聞いてしまいました。

また機会があったらよろしくお願いしますm(_ _)m

お礼日時：2011/12/31 22:51

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/31 22:15

>基礎原理からなんとかして導出できない物でしょうか?

うーん、釣り合い条件を導出するときは普通に行う
方法なんですけどね。

気持ちはわかります。

糸を有限の密度と有限のバネ定数を持つ物体として
厳密に扱い、運動方程式を解き、
質量を減らし、バネ定数を増やしたら極限がどうなるかを確かめれば
納得のゆく答えがでます。

もちろん結論は変わりません。

但し連続体の伸縮運動を扱うので結構やっかいです。
連続体の物理の扱いを覚えて研究してみてください。

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまいました、申し訳ございませんm(_ _)m

滑車の話からいろいろしつこく質問してしまいましたが、付き合っていただきありがたかったです。
連続対の物理というのは大学で勉強すると思うので、またいろいろな物理的な知識を蓄えてから考えたいと思います。

また機会があったらお願いします。

お礼日時：2012/01/01 11:53

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/31 18:25

(1)について

>糸の張力を考察するときに、「糸の質量を無視する」とあると、運動方程式において糸の重力と加速度×質量の部
>分が無視できるので糸の張力は糸のどこでも一定だとできるという記述を目にしました。

これが意図しているのは、糸の滑車からたれ下がった部分について自重分を考えないということです。
どうも、滑車に巻きついている部分まで考えようとされているようですが、そこは複雑になるので割り切っておくほうがいいです。

滑車に巻きついている部分では、滑車に働く力は張力ではなく糸と滑車の間の摩擦力で、この摩擦力の総計が糸が滑車に接する点での糸の張力・トルクという形で整理できるという事です。ここの摩擦力は、糸が滑車を滑らない条件なら静止摩擦なので状況に応じて決まり、垂直効力(※)は関係ありません。

これでいいという証明はそういわれると見たことがないです。

※ どうも垂直効力という言葉を正しく使えていないように見受けられますので、定義を確認してください。

(2)について

＞角運動量について

慣性モーメントを使うと、角速度をωとして角運動量Lが

L = I ω

と書けますので、滑車のように慣性モーメントが時間に依存しないという条件下であれば

＞角運動量の時間微分はモーメントに等しく

から

dL/dt = I dω/dt = aT1 - a T2 (＝力のモーメントの総和)

が出てきます。dω/dtが角加速度でαと書けばANo.1の式になります。

滑車の質量が無視できて慣性モーメントを0と置くことができれば、
この場合は定滑車なので、回転中心からT1とT2の作用点までの距離がaで等しいためにT1=T2が成り立ちます。

この回答への補足

迅速な回答ありがとうございますm(_ _)m

(1)の回答について
トルクという言葉を今簡単に調べただけので間違っているかもしれませんが、摩擦力による回転運動への影響はが滑車の両端の張力による滑車の回転軸のまわりのモーメントによって代表されるという意味だと解釈したのですが大丈夫でしょうか?
その際に垂直抗力は位置ベクトルと平行なベクトルだからモーメントが0になり回転運動には関与しないということですか?

(2)については完全に納得いたしました。

自分は垂直抗力はこの場合では糸が滑車を押しつけている力の事を言っているのですが間違っていますか?

補足日時：2011/12/31 20:33

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/31 17:51

>物体Aについては運動方程式は加速度をaとして、Ma=-Mg+T

>物体Bについては運動方程式を加速度をbとして、mb=-mg+T'
>ここで、T=T'となるような根拠を物理的に教えて欲しいです。

TとT'はMと糸、mと糸の接続部分の張力と推測しますが、
滑車の両端での張力をT''(M側), T'''(m側) とすると

T=T'', T' = T''' です。もし異なれば糸は無限の加速度で
運動するはずだからです。つまり糸の上下端の力は釣り合っています。

次に、T'' と T''' ですが、これも T''=T''' です。
なぜなら、異なれば定滑車が無限の角加速度で回ってしまうからです。

以上から T = T' になります。

定滑車の重心は動きませんから

糸と滑車の垂直抗力の積分値=糸が滑車から受け取る力=T+T'=T''+T'''
となります。これは糸の質量重心の運動が有限(=0)であるためです。

これで全体の運動方程式が書き下せるので解けるようになります。

このように張力が調整される仕組みは、糸がほんのわずか伸び縮して、
張力を自在に変化させ瞬時に釣り合いをとるからです。
このような無限大のばね定数で自在に変化する力を「拘束力」と
言ったりします。

「拘束力」は Mと滑車の距離+mと滑車の距離が一定になるように運動する
のに都合のよいような力を自動的にひねり出します。つまり拘束条件から
運動を決め、その後で力を決めてしまってよいのです。

この回答への補足

迅速な回答感謝ですm(_ _)m

確かに「T≠T'」とすると無限の加速、回転を行ってしまって明らかな矛盾です。ですが、自分の物理学への姿勢としては、方程式などからその解が導き出せて初めて定理や原理と出来ると思っています。実験的にT=T'じゃないと矛盾するからというのは数学論理的には間違いが無くても、実際には運動方程式やその他の諸原理によって導かれて初めて物理的な原理として価値がでると思います。(あまりに話がそれていますね(汗

背理法的な方法ではなく、基礎原理からなんとかして導出できない物でしょうか?

そして、その後の「これは糸の質量重心の運動が有限(=0)であるためです」という部分が理解が追いつきませんでした...
図々しいとは思いますが、詳しく説明していただけますか?

拘束力は物体の運動を束縛し、運動に一定の条件を付加する力で滑車に巻き付いている部分では滑車に糸が巻き付くように運動状態を束縛する力だから議論する必要がないということでしょうか?

補足日時：2011/12/31 20:46

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/12/31 13:47

ちょっと質問の仕方がまずいように思えます。

1) T と T' がどこの張力なのでしょう？　定滑車の両側だとすると
等しくないはずですが．．．(1)でも定滑車に重さが無いという
前提なのでしょうか？
2) どんな運動方程式を立てたのでしょう？
3) 定滑車と糸の垂直抗力をどのように考察したのでしょう？
何が判らないかが不明です。

この回答への補足

状況説明が不足していました。補足させていただきます。

TとT'については定滑車の両側ではなく、糸の両端働く張力です。定滑車の重さは無視しています。頭の中にある状況を書き出しますね。天井にぶらさがっている定滑車に糸をかけて、その左端と右端に物体A,B(質量はそれぞれM,m)を吊している状況をイメージしています。Aの側での糸の張力をT、Bの側での張力をT'とします。(方向については鉛直上向きをy軸の正、水平右向きをx軸の正、定滑車の中央を原点としています)

物体Aについては運動方程式は加速度をaとして、Ma=-Mg+T
物体Bについては運動方程式を加速度をbとして、mb=-mg+T'

ここで、T=T'となるような根拠を物理的に教えて欲しいです。

自分で最初に考えた式は糸の重さをm'として糸の加速度をa'としたときに、
m'a'=-T-T'-m'g + ∫N(vec)
という式です。最後の積分については後で書きます。

まず、定滑車を媒体とすると力の方向が逆になるというのはわかりますが、それをこのような場合の運動方程式でどのように表せばいいのか。そもそも定滑車が力の方向を変えるという根拠自体が私の中で物理的に曖昧で、数学的にどう処理するばそのような解が出るのかが疑問なんです。そのような機関を感覚的にではなく数式的に導出できないのだろうかと考えています。

そして最後の自分で作ってしまった記号のような積分ですが、これは滑車を微少部分に分割してその微少部分が糸に及ぼす垂直抗力をNとしてそれを位置の関数を見て滑車に沿って積分した物としています。最後の(vec)はここだけベクトル表示であることを示しました。

垂直抗力のx成分については定滑車のy軸に対する対称性から打ち消し合うことは明らかですが、y成分は正の値として残ってしまって、m'→0としてもT=T'が導けなくなってしまって...


ここからはその後の考察なのですが...

自分の作ったさきの運動方程式はベクトルとスカラーが混沌としていて、糸の加速度の方向は糸の両端で伸び縮みしないなら等大逆向きであろうし剛体についての運動方程式に全くなっていないと考えました。
糸の各微少部位についての運動方程式を立式して、それらを合わせることではじめて糸全体の運動方程式になるのではないかと考えています。そうすると各微少部位において加速度と垂直抗力は直角で仕事をしないから垂直抗力は無視できると思ったのですが、実際に剛体の運動方程式をたてる方法がまったくわかりません。

長くなりましたが結論を自分なりにまとめると、

(1)定滑車に吊した糸を議論するときに、定滑車は力の方向を変える機関だから糸はまっすぐな状態で両端にMg、mgの力を加えているときと同じである。という物理的な根拠を教えてください。そもそも定滑車が力の方向を変えることが出来るというのは感覚的だと思います。数式的に証明できないのでしょうか?

(2)今回の糸のような剛体の運動方程式を立てることは可能でしょうか?可能ならばどのようにして行うのでしょうか?

というような所です。なんか、すごくへたくそな説明しか出来ませんでした...
最終的には糸のどこでも張力は同じであるというのを物理的により厳密に証明がしたいんです。

訳が分からなかったら本当に申し訳ないのですが、再度聞いてもらえますか?自分も出来るだけ頭を整理して答えさせていただきます。

補足日時：2011/12/31 15:17

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/31 12:11

垂直効力は一切関係ないですね。

(1)運動方程式っていうのは説明が色々と面倒なので・・・・

長さl、線密度ρの糸に質量mの重りをぶら下げたとすると、

下端では重りの重力のみが働いているので

糸の下端のつり合い T(下)＝mg

上端の場合は重りの重力mgの他に糸にかかる重力ρl gも働いているので

糸の上端のつり合い T(上)＝mg + ρl g

糸の質量を無視するということはm >> ρlの近似が十分に成り立っているということで、
その場合にはρl gがなくなるので

T(下)＝T(上)＝mg

詳細な証明は省きますが、上端と下端の張力が等しいので、当然中間も等しくなります。

(2)を説明するには高校物理を越えると思うのですが・・・・

大きさのある物体には慣性モーメント(※)という回転のしにくさを表す質点の運動の質量に相当する量があります。
この慣性モーメントをIとかくと角加速度(回転の加速度)をαとして、回転の運動方程式

Iα= a T1 - a T2

が成り立ちます。T1, T2は滑車の両側にかかる糸の張力で、aは滑車の半径です。
滑車の質量が0だと慣性モーメントIが0になるので左辺が0となり、T1 = T2になります。

※ 回転の中心から距離lにある質量mの質点の慣性モーメントはml^2で定義され、
滑車のような大きさのある物体の場合はこれを全体で積分したものになります。

この回答への補足

質問をさせていただきます。

(1)定滑車に吊した糸の状態をまっすぐな糸と同じ状態として考えている物理的な根拠がわからないので、詳しく教えていただけますか?
定滑車があると力の方向は逆になるのは分かりますが、それがまず感覚的であろうと思うんです。そのような感覚的な過程を経ずに定滑車に吊した剛体の運動方程式を議論することはできないのでしょうか?

(2)慣性モーメントを知らなかったのでそのような考え方が出来ませんでした。角運動量については以前高校の惑星運動の面積速度一定の法則のときに独学したので若干は知っていますので、回答を参考にして角運動量での解釈をしてみました。
角運動量について角運動量の時間微分はモーメントに等しく、今定滑車の質量を無視すると角運動量も0となりモーメントも0となり、モーメントは位置と力の外積で、位置の大きさは等しいから力も同じになるという解釈に間違いはないでしょうか?

しつこいようで申し訳ありません...

補足日時：2011/12/31 15:30