No.3ベストアンサー
- 回答日時:
y=f(x)とするときf(-x)=f(x)が成り立つならば
y=f(x)は偶関数であると定義されます。
偶関数はY軸対称のグラフとなる関数とも言えます。
>y=2x^2
y=f(x)=2x^2とおくと
f(-x)=2(-x)^2=2x^2=f(x)なので
y=f(x)は偶関数(y軸対称)になります。
従ってy=2x^2は偶関数の定義を満たすので偶関数と言えます。
>y=2^x とy=(1/2)^x
これが偶関数と言いません。
y=g(x)=2^xとおくと
g(-x)=2^(-x)=(1/2)^x≠g(x)
従ってy=2^xは偶関数の定義を満たさないので偶関数ではない。
y=h(x)=(1/2)^xとおくと
h(-x)=(1/2)^(-x)=2^x≠h(x)
従ってy=(1/2)^xは偶感数の定義を満たさないので偶関数ではない。
g(-x)=h(x)=(1/2)^x,h(-x)=g(x)=2^xの関係にある関数y=g(x)=2^xとy=h(x)=(1/2)^xは
互いにy軸対称の関係にある関数と言います。
つまり
y=2^xをy軸に対称移動した関数がy=(1/2)^xであり、
逆に
y=(1/2)^xをy軸に対称移動した関数がy=2^xである
と言います。
なるほど。ただ「y軸に関して対称な関係にある」というだけですね。また、二次関数もx軸方向に平行移動してしまうと、f(-x)≠f(x)となりますから、やはり偶関数とは言えなくなりますね。
y軸に関して対称なのは、結果の上の性質であって、偶関数であることを満たすための条件ではない、ということですか。
分かりやすいアドバイスありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
質問者さんの質問を言い換えると以下のようになると思います。
「偶関数で多価関数のものはあるか?」
たとえば、
y=2^x (x <0)
=(1/2)^x (x ≧0)
もしくは、
y=(1/2)^x (x <0)
=2^x (x ≧0)
とかなら、問題なく偶関数なんですが、多価関数となるとこの扱いをどうするかが問題になってきます。
wikipediaに以下に定義されています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2% …
関数 f(x) が偶関数であるとは
f( - x) = f(x)
が任意の x について成立することである。
また、多価関数とは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1% …
あるxに対して複数の値を返す関数
たとえば、
tan の逆関数である arctan について arctan(1) の値は π/4, 5π/4, -3π/4 などの複数の値をとる。
1.関数の中に多価関数を入れない場合
現代では関数というと、
1つのxに対して1つの値を返すものがそれとされているようです。
その場合、多価関数が関数とみなされないので、
偶関数でもないということになると思います。
2.関数の中に多価関数を入れる場合
関数の中に多価関数を入れるなら、
f( - x) = f(x)
が任意の x について成立するといえるでしょうか?
返ってくる値を集合で見たら、等号が成立する気もしますが、
複数返ってくる値のうち、ひとつを比べたら、等しいときもあればそうでないときもありますよね。
例として質問者さんの、二つひっくるめた関数でいうと、
x=1とx=-1でそれぞれ、y値が2と1/2がでてきます。
集合で見るなら {2, 1/2} = {2, 1/2} なので等しいですが、
集合の要素である2 や 1/2でみると、
2=2, 1/2 = 1/2 はなりたつけども、2=1/2はなりたたないので、
等号が成立しているといえるのだろうかと思っています。
なので、ここまで回答していて何なんですが、
2の場合は、自信がないです。
でも、大方、1の場合で数学はやっているようですから、
質問者さんの言われる関数は偶関数ではないのでしょう。
あと、回答者1さんの
g(y)ですが、ひっくるめた時点で多価関数になり、さきほどと問題として何も変わっていないです。
ですから、偶関数でないとするのが濃厚のように思います。
(ごめんなさい、けんか売るつもりはありません。)
ご回答ありがとうございます。かなり突っ込んだ内容で、今の私のレベルでは理解仕切れませぬ。
しかし、色々な捉え方があるのだなぁと改めて数学の奥深さや難しさを知る事が出来ました。
No.1
- 回答日時:
xが変数のとき、
f(x)=f(-x)であるものを偶関数と呼びますから、『y=2^xとy=(1/2)^xをひっくるめた関数』は偶関数とは言えません。
しかしこの関数を、yを変数とした関数に変形する、つまりx=g(y)という式にしたときには、偶関数と言えます。
ちなみにこのx=g(y)は、『x=log[2](y)とx=log[1/2](y)をひっくるめた関数』となるでしょうね。
ついでに奇関数は、f(x)=-f(-x)であるものです。
早速のご回答ありがとうございます。
y軸に関して対称であること。と、隅関数。というのは、同値じゃないという事ですか。f(-x)=f(x)ならば隅関数というのは同値ですか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【 数I 2次関数の対称移動 】 問題 ※写真 疑問 放物線y=2x²+xをy軸に関して対称移動 す 3 2022/07/02 23:28
- 数学 数学 x軸に関して対称に移動した放物線の式は x軸に関して対称に移動された放物線の式のyに−をつけて 1 2022/07/14 21:03
- 大学・短大 【線形代数について質問です】 点(4.3)を点(3.4)に写す1次変換のうち、原点を通る直線について 1 2023/06/11 14:29
- 高校 三次関数のグラフにつきまして 3 2022/05/15 11:14
- 数学 【 数I 対称移動 】 問題 直線y=-x+1をx軸、y軸、原点に関して それぞれ対称移動して得られ 2 2022/07/02 19:54
- 数学 誤字により再質問(申し訳ありません) y=2x(x>0) y=-2x(x≦0) この2つの関数グラフ 6 2023/06/12 23:12
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- 数学 先日 y=|2x|…①のグラフはy軸に線対象だと理解しました。 そして y=2x(x>0)…② y= 2 2023/06/23 17:29
- 数学 放物線の対称移動の問題の答え方について質問があります 解く時に平方完成の形にして解くと思うのですが、 4 2022/05/30 18:17
- 数学 本当にどうでもいい細かいことかもしれないんですが、直線y=2x+3をlとし、直線lに関して、点P(3 4 2022/04/01 23:44
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最...
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
微分について
-
大学の問題です。
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
パーセバルの等式
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
教えていただきたいです! 原点...
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
微分の公式の導き方
-
∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積...
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
極限を調べるときプラス極限マ...
-
微分、等式を満たす二次関数
-
f(x)=xe^-2xの極大値
-
ニュートン法について 初期値
-
周期関数にはどんな種類のもの...
-
【大至急!!!】数学的帰納法...
-
yとf(x)の違いについて
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
微分について
-
大学の問題です。
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
大学への数学(東京出版)に書...
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
関数 f(x) = e^(2x) につい...
-
極限、不連続
-
マクローリン展開の問題です n=...
-
n次導関数
-
数学 微分について
-
微分可能ならば連続の証明につ...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
関数f(x)がC∞-級関数であること...
-
"交わる"と"接する"の定義
-
【数3 式と曲線】 F(x、y)=0と...
-
次の等式を満たす関数f(x)を求...
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
おすすめ情報