格子点

Question

いま、４つの格子点Ｏ(0、0)、Ａ(a、b)、Ｂ(a、b＋3)、Ｃ(0、b＋3)を考える
ただし、a、bは互いに素な自然数でb＜aであるとする
(1)線分ＯＡ上(端点を除く)に格子点は存在しないことを示せ 
(2)四角形ＯＡＢＣの内部(辺、頂点は含めない)に格子点はいくつあるか


はじめから分からないので解説をお願いします！

yyssaa · Accepted Answer

(2)について

a、bは互いに素な自然数でb＜aなので、1≦b＜a、2≦a です。
2点D及びEをD(a,0)及びE(0,b)とし、
　まず長方形(正方形を含む。以下同じ)ODBCの内部(辺、頂点は含めない)
の格子点の数x個を計算します。
x個の格子点の一番外側の格子点を結んで出来る長方形の一つの辺の上の
格子点の数は
(1,1)(2,1)～(a-1,1)までの(a-1)個、
(1,b+2)(2,b+2)～(a-1,b+2)までの(a-1)個、
(1,1)(1,2)～(1,b+2)までの(b+2)個
(a-1,1)(a-1,2)～(a-1,b+2)までの(b+2)個
になるので、x個は２辺の個数の掛け算で求まります。
　次に長方形ODAEの内部(辺、頂点は含めない)の格子点の数y個を、同様の
方法で計算します。
　(1)で線分ＯＡ上(端点を除く)に格子点は存在しないことが示されているので、
三角形ODAの内部(辺、頂点は含めない)の格子点の数は、(y/2)個になります。

以上から、求める四角形ＯＡＢＣの内部(辺、頂点は含めない)の格子点の数は、
x-(y/2)（個）になります。

mister_moonlight · Answer

後は自分で考えろ。
何時までも人に頼ってると、思考力が養われない。分からないなら、分かるまで考える。
どうしても駄目なら　日にちを置いて再度かんがえろ。

もう一つの整数問題が分からないのに、この問題は君にはまだ早い。

mister_moonlight · Answer

＞なんでＡＥの上は3(a－1)個なんですか？

条件は　Ａ(a、b)、Ｂ(a、b＋3)、Ｃ(0、b＋3)。
b＋3　まで考えなければならないんだろう。

mister_moonlight · Answer

線分ＯＡ上に格子点が存在すると仮定すると、その格子点をＰ(α、β)とすると、ＯＡとＯＰの傾きが同じだから、
b/a＝β/α　‥‥(1)
0＜α＜a、0＜β＜b　だから、(1)から　b/aを約分すると、β/αにならなければならないが、a、bは互いに素から、b/aは既約分数。
したがって矛盾するから、仮定そのものが誤りだから、題意のとおりに成立する。

問題の2は　ピックの定理を使えれば簡単なんだが。。。。ピックの定理は検索したら良い。

Ａからx軸とy軸に垂線を下し、その足を各々Ｄ、Ｅとする。
そして、直線ＡＥの上と下に分けて格子点を数える。上の部分の格子点の数は、線分上が除外されるから　3(a-1)。
下は、三角形ＯＡＥの内部にある格子点の数になる。
最初の設問から、線分ＯＡ上に格子点はないから、長方形：ＯＤＡＥの内部の格子点の数の1/2.
つまり、3(a-1)＋(1/2)*(a-1)*(b-1)

asuncion · Answer

(2)まずは具体的な例で考えてみて、一般論に持っていけばいいのではないかと思います。
例えばa=4,b=3（aとbは互いに素で、a>b）の場合を考えてみましょう。

asuncion · Answer

(1)背理法を使うのではないかと思います。
線分OA上に格子点が存在すると仮定して議論を進めていくと、
a,bが互いに素である、という前提と矛盾することになるのではないかと思います。

格子点

(2)について

後は自分で考えろ。

＞なんでＡＥの上は3(a－1)個なんですか？

線分ＯＡ上に格子点が存在すると仮定すると、その格子点をＰ(α、β)とすると、ＯＡとＯＰの傾きが同じだから、

(2)まずは具体的な例で考えてみて、一般論に持っていけばいいのではないかと思います。

(1)背理法を使うのではないかと思います。

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