sin72度の求め方を教えて下さい.

sin72度の求め方を教えて下さい.

No.6 ベストアンサー 回答者： m08index 回答日時： 2012/03/27 15:29

sin72度を求める方法がここに詳しく載っています

http://ikamondai.com/Question28.html

参考URL：http://ikamondai.com/Question28.html

この回答へのお礼

図での説明があったので分かりやすかったです.

単位円上にx^n=1の解が存在するなんて奥が深いですね.

しかも、正5角形がでてきたりして面白かったです.

お礼日時：2012/03/27 16:11

No.5 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/27 12:48

いったん複素数に持っていくことが許されるなら，

X^5=1の解から求める方法もあります。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7378422.html
でinf22先生が書いているように
x=(-1-+√5+i√(10-+2√5))/4, (-1-+√5-i√(10-+2√5))/4 (複符同順)
なので，その虚数部からsin72゜=√(10+2√5))/4です。

この回答へのお礼

x^5=1の解と関係しているなんて不思議でした.

回答ありがとうございます.

お礼日時：2012/03/27 15:43

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/27 11:10

72°＝αとする。

5α＝πから　2α＝2π-3α。
両辺のsinをとると、sin2α＝sin(2π-3α)＝-sin3α。
2倍角と3倍角の公式を使ってバラすと、sinα＞0から　3-4sin＾2α＋2cosα＝0　→　4cos＾2α＋2cosα-1＝0
これを解くと、cosα＞0より　cosα＝(√5-1)/4。
従って、sinα＞0、sin＾2α＝1-cos＾2α　　から求める値は自動的に出る。

この回答へのお礼

5α＝πは5α＝2πの間違いですか.

いったんcos72度を求めてそれからsin72度を求めているんですね.

回答ならぬ解答ありがとうございました.

お礼日時：2012/03/27 15:52

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/03/27 09:14

図を使って説明したいのですが方法がないため言葉と式だけで説明します。

自分で図を書いて確認してください。

低角が72°、頂角が36°の二等辺三角形ABC(Aが頂角とします)を書きます。
角Bの二等分線とACとの交点をDとします。すると∠BDC=72°となり、△BCDは△ABCと相似な二等辺三角形となります。
さらによく見ると△DABはDA=DBの二等辺三角形となります。

ここでAB=x,BC=1とすると、BC=BD=DA=1 であることから
CD=x-1
となります。
ここで△ABC∽△BCDより相似比をとると
x/1=1/(x-1)
となり整理すると2次方程式
x^2-x-1=0
が得られます。

これを解きxの値を得ると次にAからBCに下ろした垂線の長さを求めます。
垂線をAHとすると
AH^2=AB^2-(BC/2)^2=x^2-1/4　→ AH=√(x^2-1/4)
後は
sin72°=AH/AB
とすればよいのです。

この回答へのお礼

他の方と違い図形的に解く方法もあるんですね.

勉強になりました.

お礼日時：2012/03/27 15:55

No.2 回答者： staratras 回答日時： 2012/03/27 06:53

72°×５=３６０°　であることを利用します。

方針を示しますので計算してみてください。

７２°=α　とします

2倍角の公式　ｓｉｎ2α=2ｓｉｎαｃｏｓα　ｃｏｓ2α=1-2ｓｉｎ^α
３倍角の公式　ｓｉｎ3α=3sinα-4sin^3α　cos3α=4cos^3α-3cosα
加法定理　　sin5α=sin(2α+3α)=sin2αcos3α+cos3αsin2α

を利用して　sinの5倍角の公式を作ります。ｓｉｎαの5次式になるはずです。

sin5α=ｓｉｎ３６０°=０　なので　ｓｉｎα=xとおくと　xに関する5次方程式ができます。

幸いなことに　この5次方程式には定数項がなく、また明らかにｘ=0は不適なので
xについての4次方程式を解けばよく、しかもこの4次方程式にはxの3次、1次の項がないので
x^2=X とおくと　Xについての2次方程式になります。

あとは　Xを求める→複号のどちらが適切か注意してxを求めるとｓｉｎ７２°を求めることができます。

この回答へのお礼

sin72度から５次方程式を作り解くのですか～.

一度解いてみます!!

ありがとうございました.

お礼日時：2012/03/27 16:03

No.1 回答者： ennalyt 回答日時： 2012/03/27 03:59

数学1ですか？ 数学2の範囲ですか？

後者なら、弧度法を使わせる意図じゃないかな？
180度をπラジアンとするあれのことです。

72度は2/5πとなり、数式で扱いやすくなります。

この回答へのお礼

sin(2/5π)の値を求め方です.

お礼日時：2012/03/27 15:33