A 回答 (8件)
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No.7
- 回答日時:
これまでの回答と本質的には違いませんが、見かけの上では
この問題は図形的(ベクトル的)に考えた方がわかり易いと思います。
座標軸の原点を中心とする単位円(半径1の円)を考えます。
この円周上の点を7等分して正七角形を作ります。
X軸上の点(1,0)をP1とし、円周上に反時計回りにP2からP7までとります。
2π/7=θ とすると
正七角形の各頂点の座標は、P1(1,0) のほか
P2(cosθ,sinθ)、 P3(cos2θ,sin2θ)、P4(cos3θ,sin3θ)、P5(cos4θ,sin4θ)、 P6(cos5θ,sin5θ)、P7(cos6θ,sin6θ)、
ここで原点OからP1、OからP2…、OからP6、OからP7までのベクトルの和を考えるとゼロベクトルです。(図で考えるとOP1を最初の1辺とする辺の長さ1の正七角形の周上を一回りして元の原点に戻ります)
このうちx成分に着目すれば
1+cosθ+cos2θ+cos3θ+cos4θ+cos5θ+cos6θ=0
この図はX軸に対称なので、cosθ=cos6θ,cos2θ=cos5θ,cos3θ=cos4θ
したがって1+2(cosθ+cos2θ+cos4θ)=0
よって cosθ+cos2θ+cos4θ=-1/2
No.6
- 回答日時:
正7角形の7つの頂点の重心の座標は(0,0)。
だから、θ=2π/7のときcos(0)+cos(θ)+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)+cos(6θ) = 0
sin(0)+sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)+sin(4θ)+sin(5θ)+sin(6θ) = 0
の二つが成立つけれども、一つ目だけに注目。まずcos0 = 1を移項。
(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))+(cos(3θ)+cos(5θ)+cos(6θ)) = -1
ここで、cos(4θ)=cos(3θ), cos(5θ)=cos(2θ), cos(6θ)=cos(θ) を使って、
(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))+(cos(4θ)+cos(2θ)+cos(θ)) = -1
2(cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ))=-1
だから
cos(θ)+cos(2θ)+cos(4θ) = -1/2
面白いですね。
No.5
- 回答日時:
cosθ=αとすると、P=cosθ+cos2θ+cos4θ=(cos2θ)*(2cosθ+1)=(2α+1)(2α^2-1)=4α^3+2α^2-2α-1 ‥‥(1)
7θ=2πから 3θ=2π-4θだから cos(3θ)=cos(2π-4θ)=cos2(2θ)だから 4α^3-3α=2(2α^2-1)^2-1.
ばらして整理すると 8α^4-4α^3-8α^2+3α+1=(α-1)(8α^3+4α^2-4α-1)=0
α-1≠0から 8α^3+4α^2-4α-1=0 → 4α^3+2α^2-2α=1/2 ‥‥(2)
(2)を(1)に代入すると、P=4α^3+2α^2-2α-1=1/2-1=-1/2。
結果は 予想通り。
No.4
- 回答日時:
方程式z^7=1の解を考えると
z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0
1以外解の1つ z=e^(i2π/7)は
z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
を満たすから
e^(i12π/7)+e^(i10π/7)+e^(i8π/7)+e^(i6π/7)+e^(i4π/7)+e^(i2π/7)+1=0
ここで
e^(i12π/7)=e^(i12π/7-2πi)=e^(-i2π/7)
e^(i10π/7)=e^(i10π/7-2πi)=e^(-i4π/7)
e^(i6π/7)=e^(i6π/7-2πi)=e^(-i8π/7)
なので
e^(-i2π/7)+e^(-i4π/7)+e^(i8π/7)+e^(-i8π/7)+e^(i4π/7)+e^(i2π/7)+1=0
オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθを用いると
e^(i2π/7)+e^(-i2π/7)=2cos(2π/7)
e^(i4π/7)+e^(-i4π/7)=2cos(4π/7)
e^(i8π/7)+e^(-i8π/7)=2cos(8π/7)
なので、これらの関係を代入して
2cos(2π/7)+2cos(4π/7)+2cos(8π/7)+1=0
2{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)}=-1
∴cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)=-1/2
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式
No.3
- 回答日時:
θ=2π/7として,a=e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)とおく。
ド・モアブルの公式より
a^n=cos(2πn/7)+i*sin(2πn/7)
a^7=e^(i2π)=1
よって(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0
a≠1より
a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0 書き換えて
(a^6+a^5+a^3)+(a^4+a^2+a)=-1
a^7*(a^(-1)+a^(-2)+a^(-4))+(a^4+a^2+a)=-1 a^7=1を代入して書き換え
(a^4+a^(-4))+(a^2+a^(-2))+(a+a^(-1))=-1
ここでa^n+a^(-n)=2cos(nθ)より
2cos4θ+2cos2θ+2cosθ=-1
よってcos4θ+cos2θ+cosθ=-1/2
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