高校の宿題（数学）

宿題で分からなくて困っています。
どうか助けてください。

ωがx^2+x+1=0の解の1つであるとき、次の問いに答えよ。
(1) 1/ω^8 + 1/ω^4
(2) 2ω^300 + ω^200 + ω^100 + 1
(3) (ω^200 +1)^100 + (ω^100 +1)^10 + 2

x^pはｘのp乗という意味です。
できるだけ早く、解説付きでお願いします。

No.1 回答者： Teio_Plateau 回答日時： 2012/03/28 17:22

宿題ならば自分で考えましょう。

ここはカンニングのための駆け込み寺ではありません。

ヒントを一つだけ。x^2+x+1を使った文字式の公式（因数分解で習うはず）があります。
それを使いましょう。その公式が分かれば、あとは中学生にでも解けるレベルです。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/28 18:06

補足要求： ω^3 = 1 だが、それはナゼか？

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/28 19:08

＞ωがx^2+x+1=0の解の1つであるとき、次の問いに答えよ。

x^2+x+1=0を解の公式を使って解くと、
ｘ＝（－１±√３ｉ）／２　このうちどちらか一方、例えば、
ω＝（－１＋√３ｉ）／２とおいて、ω^2，ω^3を求めれば、様子が分かると思います。
後は各式を、ωとω^2を含む式になるように式変形してから、計算します。

＞(1) 1/ω^8 + 1/ω^4＝１／ω^2＋１／ω　になります。
＞(2) 2ω^300 + ω^200 + ω^100 + 1　……　ωとω^2だけの式になります。
＞(3) (ω^200 +1)^100 + (ω^100 +1)^10 + 2　
　　　　……　(ω^200 +1)^100 と(ω^100 +1)^10 もそれぞれ　ωかω^2になります。

計算してみて下さい。

、

No.4 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2012/03/29 01:26

x^3=1という方程式を複素数の範囲で解いたときの3つの解を、1,ω,ω^2と書くことが決まっています。

必ず教科書に載っています。この3つの解の和は、ω^2+ω+1=0と、ゼロになります。教科書に載っています。また、ω^3=1となる性質があります。教科書に載っています。であれば、ω^4はいくらになるのですか？ここまで分かれば、ご質問の問題は全て解けます。この説明を読んでも言っている意味が分からないというのは、勉強していないことの証明です。とにかく教科書を読んでください。そうでなければ、永久にできるようにはならないと断言します。

No.5 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/29 12:31

この問題の2つのポイントを書いとくから　計算は自分でやって。

(1)　ω＾3-1＝(ω-1)(ω＾2＋ω＋1)＝0
よって、ω≠1ではあるが、ω＾3＝1、ω＾2＋ω＋1＝0。　以下は、この2つを使う事になる。

(2)　ωの次数が大きい事にだまされてはいけない。
そういう時は、次数を下げる　という作業をすればよい。
例えば、ω^100 ＝(ω＾3)＾33*ω＝ω、ω^200 ＝(ω^100)＾2＝ω＾2　とやればよい。
そうすれば、ω^300なんかも直ぐでるし、ω^8　や ω^4　なんかは簡単に分かるだろう。

この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございました。
問題の意味を勘違いしていたようで、理解できました。
春休みの宿題で考えても分からず悩んでいました。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2012/03/29 13:30