No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a≪xじゃどうにもなりません。
条件は、|a|≪|x|の間違いでしょう。式の格好によっていろんな手が使われますが、しかし大抵の場合に通用する一つの定石はマクローリン展開です。
まず、「xは定数、aが変数だと思う」んです。たとえば
f(a) = 1/(a^2+x^2)^(1/2) - 1/x
のように。そして、これをaが小さい時に成立つ近似式で表してやる。
マクローリン展開は
f(a) = f(0) + (f'(0))(a^1)/(1!) + (f''(0))(a^2)/(2!) + (f'''(0))(a^3)/3!) + …
です(「!」は階乗)。
上記のfをaで微分したものf'、2回微分したものf''、…を計算すると(「xは定数、aが変数だと思う」ことに注意して)
f'(a) = -a / ((a^2+x^2)^(3/2))
f''(a) =(2(a^2)-x^2) / ((a^2+x^2)^(5/2))
f'''(a) = 3a(3(x^2)-2(a^2)) / ((a^2+x^2)^(7/2))
なので、
f(0) = 1/|x|- 1/x
f'(0) = 0
f''(0) = -1/|x|^3
f'''(0) = 0
であり、従ってこの場合にはマクローリン展開は
f(a) = 1/|x| -(a^2)/(2(|x|^3)) + …
と書けます。右辺をどこまで続けるかは目的によりますが、普通はaの0次~2次の項ぐらいまでを使って、以降を捨て、それを「n次近似」と呼ぶ。この場合、f'(0) = 0だから0次近似と1次近似は同じで
f(a) ≒ 1/|x|- 1/x
また、f'''(0) = 0だから2次近似と3次近似は同じで
f(a) ≒ 1/|x| - 1/x -(a^2)/(2(|x|^3))
ということになります。
No.3
- 回答日時:
No2です。
その回答に誤りがありました。文中の2箇所の 1+px は誤りで、1+pt が正しいです。
なお、(1)(2)は (1+t)^p に変形できると書きましたが、
その時の t は、t<<1 を満たす量というものであり、
a/x もそうだし、(a/x)^2もそうです。
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
問題には、さらに 0<a の条件がありはしませんか?
もし、そうなら、 a/x << 1 ですから、a/x=t とおくと、t <<1 です。
ところで、t <<1 のとき、 pを正の実数(定数)とするとき、
(1+t )^p は、1+px と近似できることは、習いましたか。
これは、(1+t )^p =f(t) とおく時、 f(t)を f(0)+f’(0)t で近似することを意味します。
あなたの問題の(1)も(2)も、 第1項は (1+t )^p という形に、変形できますから、
それを 1+px と近似すれば、答えが出ますよ。
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