商計算の近似式について

c>>vにおいて、下式
(c-v)/(c+v) ≒ (1 - 2v/c)
が、何故そうなるのか分かりません。
どなたかお教えいただければと思います。

※ｃ>>vのとき、
(c-v)/(c+v)≒(c-v)×(c-v)という近似式は正しいのでしょうか。
あわせてご回答御願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/09/08 02:15

こんばんわ。

|x| << 1のとき、(1+ x)^n≒ 1+ nx
という近似公式があります。
これは、普通にテイラー展開（マクローリン展開）をして 2次以上の項を無視することで導かれます。

質問の式では、
(c- v)/(c+ v)
＝ { 1- (c/v) } / { 1+ (c/v) }
＝ { 1- (c/v) } * { 1+ (c/v) }^(-1)
≒ { 1- (c/v) } * { 1- (c/v) }
＝ 1- 2(c/v)+ (c/v)^2
≒ 1- 2(c/v)

となります。近似しているのは分母になっている個所だけです。

おそらく相対論の式だと思いますので、
通常の生活範囲の vが光速：cよりも非常に小さいならば・・・という話になりますね。＾＾

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2011/09/08 14:17

近似式とはどういうものであると考えておられますか。

近似式はあくまでも数値としての一致が判断の基準です。
数式としては一致していていないが数値として（ある範囲内で）一致する簡単な式があればでそれで代用していいだろうということです。それによって物理量の間の関係が簡単な式になって見えてくるということが可能になります。

数値としての一致をみるのであればとりあえずは値を入れてみればいいです。
ｒ＝０．１、　０．０１、　０．００１、・・・

ご質問の式は
１／（１－ｒ）＝１＋ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・
という展開式の一部分です。
この式の右辺と左辺を入れ替えると高校の数学で出てくる無限級数の和の公式になります。教科書には証明も載っています。収束条件は｜ｒ｜＜１です。ｒの符号を変えると１／（１＋ｒ）の展開式になります。

式として一致させるためには無限個の項が必要です。
数値として（ある値の幅の範囲で）一致させるのであれば有限個の項数でいいのです。


数値を代入してみます。必ずずれが出てきます。
１／（１＋ｒ）～１－ｒとします。
ずれは　ｄ＝１/(１＋ｒ)－(１－ｒ)　＝ｒ^2－ｒ^3？・・・です。
ｒ＝０．１とするとｄ≒０．０１です。
ｒ＝０．０１であれば、ｄ≒０．０００１です。

ｒ≒０．１であるがｄ＜０．０１であることが必要であるような場面であれば別の近似式を用いる必要があります。１/(１＋ｒ)～１－ｒ＋ｒ^2　とすればいいでしょう。

１/(１＋ｒ)～１－ｒ　が常に成り立つということではありません。
ｒの値（変数のずれ幅）と要求される近似値の精度との兼ね合いで式は変わってきます。
この条件は扱っている場面の中に隠れています。
この式は第一近似です。要求される精度によって第２近似、第３近似と変えていく必要があります。

１/(１＋ｒ)～１－ｒ　という近似式を使えばこの式を導いた時の条件はその後の計算でも条件として考えないといけません。この式を得るためにはｒ^2　の項以上を落とすという操作が必要でした。そうであれば、その近似の結果出てきた(１－ｒ)(１－ｒ)＝１－２ｒ＋ｒ^2の式でもｒ^2の項は落として考える必要があるのです。(１－ｒ)^2～１－２ｒ　です。２乗の計算は簡単なので近似を使わなくても計算できると考えてｒ^2まで含めた式を書いている人がよくいますが誤りです。
(１－ｒ)/(１＋ｒ)～１－２ｒ＋ｒ^2　ではありません。
もしｒ^2の項まで出したいというのでしたら
１/(１＋ｒ)～１－ｒ＋ｒ^2　を使う必要があります。
この場合、(１－ｒ)/(１＋ｒ)～１－２ｒ＋２ｒ^2　になります。
（ｒの項までしか考えない近似で充分であるという精度で計算しているときには余分に出してしまったｒ^2の前の係数が１であるか２であるかは問題になりません。合っていても、間違っていても影響がないのです。でもｒ^2の項まで考えないといけないような現象もめずらしくありません。その場合、近似をアンバランスに使うと致命的な間違いにつながる可能性があります。）

点電荷によって作られる電場を考える、
双極子によって作られる電場を考える、
四重極子によって作られる電場を考える、
必要とされる近似の程度は変わってきます。

どういう近似を使って得られた式であるかは有効数字の桁数にも影響を与えます。
近似を使って得られた式にただやみくもに桁数の多い数字を入れても無駄であるという事が起こることもありますから注意が必要です。

No.3 回答者： ninoue 回答日時： 2011/09/08 11:32

既に回答されている通りですが、電卓で適当な数値を入れて概略を確認する事も出来ます。

x=0.1:
(1-x)/(1+x)=0.9/1.1=0.8181..;
1-2*x=1-2*0.1=0.8
(1-x)*(1-x)=0.9^2=0.81

x=0.01:
0.99/1.01=0.98019801....
1-2*0.01=0.98
0.99^2=0.9801

x=0.001:
0.999/1.001=0.998001998001......
1-2*0.001=0.998
0.999^2=0.998001

x=0.0001:
0.9999/1.0001=0.9998000199980001........
1-2*0.0001=0.9998
0.9999^2=0.99980001

以上のように各近似式は、x<1のxが0に近づくに従って近似精度が上がって行きます。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/09/08 10:28

ひとつめ:

(1-(v/c))/(1+(v/c)) の(一次)テイラー近似です。
(1-x)/(1+x) をマクローリン展開して、
一次項までで打ち切りましょう。
(d/dx)(1-x)/(1+x)｜[x=0] = -2 から、
質問の式が出ます。

ふたつめ:
c＞＞v のとき、左辺 ≒ 1、右辺 ≒ cの2乗 ですから、
その近似が成り立つかどうかは、c ≒ 1 かどうかに依ります。
同じ現象を表す式でも、単位系のとり方次第ですね。