確立（独立試行の定理）

問）赤、青、黄、桃、緑の各色の球がそれぞれ1個ずつ箱の中に入っている。
この箱の中から無作為に1個の球を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を5回
繰り返す。
3回以上同じ色の球を取り出す確立はいくらか？

　と、いう問いなのですが例えば赤を取り出す確立は1/5ですよね？
　それを3回取り出す⇒(1/5）^3・・・・・Ａ
　　　　　2回取り出さない⇒(4/5)^2・・Ｂ

　　　で赤が3回、ほかの色が2回出る確率が出そうな気がするのですが
　　　回答では先頭に、5Ｃ3がついてかけられているのです。
　　　
　　　　　　5Ｃ3×(1/5）^3×（4/5)^2＝１０×10/5^2＝32/625（赤の出る確率）

　　　　なぜA,Bだけでは赤の出る確率が出ないのか、
　　　　初心に戻ってA,Bの意味合い、5C3の意味合いをどなたか詳しくご教授ください。
　　　　（独立試行の定理自体、理解しきれていません。）
　　　　どうぞよろしくお願いします。

　　　　

No.5 回答者： superkamecha 回答日時： 2012/05/17 22:25

陥りやすい錯覚ですな。

質問者の方は、「個別確率の積が、どうして全体での確率と一致しないのか？」ということが疑問なのですね？
そこで、この個別確率の考え方に沿っての説明を試してみますね。
まず、質問者の方の値；（１／５）＾３×（４／５）＾２が正解となるような問題を考えてみましょう。
これは、例えば、２００００人の被験者を集めて、本題の操作をやってもらうこととします。ここで、５回の出方のうち、赤を３つ含むようなパターンを任意に”一つ”設定します。ここでは「赤赤○赤○」としましょう。（○は赤以外なんでもＯＫ）　そして、まず全員に１回目をやってもらって、設定パターン（この場合”赤”ですね）以外だった人には退場していただき、残った人だけで２回目を行う。　と、この操作を５回行ったら、最終的に残る人の数は２００００人に対してどのくらいの割合か？
という問題の答えなんですね。
つまり、この場合、最初の１回で確率（１／５）が実現し、１６０００人が退場します。２回目では、残った４０００人のうち、３２００人が退場することになります。この時（１／５）＾２が実現しています。３回目終了時には（１／５）＾２×（４／５）が実現していて、最終的に（１／５）＾３×（４／５）＾２が実現するわけです。およそ１００人ですね。
さて、ではこの値（約１００／２００００）はどういう値だったか？というと、これは「赤赤○赤○」という１つのパターンでの「居残り確率」なわけです。
ところが本題では、赤を３つ含んでさえいれば、”条件に合致する”のだから、「赤○赤○赤」の人も居残っていなければなりません。（なのに、このパターンの人は可哀想にも退場させられてしまっている）同様に「○赤赤赤○」の人も本来は居残り組です。
では、「赤○赤○赤」のパターンは何人いるのか？というと、居残った人数と同じ、約１００人いるわけです。「○赤赤赤○」のパターンの人数も同じ。
これらのパターンの人も居残り組に復活させたら、居残り組は全部で何人になるでしょうか？
と、ここまでくれば、赤を３つ含むようなパターンの数がいくつあるのか？（これが５Ｃ３なのですが）をかけなければならない理由がお解かりいただけましたでしょうか。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/05/17 12:57

No.3 です。

訂正です。
>赤が４回出るのは、５個から４個選ぶ組み合わせで
>４種類、

5種類ですね。5C4=5 です。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/05/17 08:04

もっと単純な問題に直してみましょう。

赤1個、白1個として、１回赤が出る確率は、korun8040の考え方では
(1/2) x (1/2) = (1/4)
です。

そこでシミュレーションしてみます。
２回取り出すという試行を400回したとしましょう。
１個目が赤で２個目が白だったというように記録してゆきます。

試行を全て終えたら、記録を調べてみると、
１回目が赤の記録は２００個くらいあるはずです。
赤を取り出す確率は 1/2 だからです。
さらに記録を絞り込んで、１回目は赤、２回目は白の記録の
個数を調べると 100回くらいになるはずです。
２回目が白になる確率は、１回目の色に左右されないからです。

以上から １回目赤、２回目白の個数は 100回くらいで
確率は 100/400 = 1/4 となります。

同様に考えて、一回目が 白、２回目が赤の確率も 1/4

なので、赤が一回出る確率は２つ合わせて 1/2 です。

つまり、２回取り出して赤が一回という色の出方の全パターンを
網羅しなければならないのです。

元の問題に戻りますが、

赤が３回でるのは、５個から３個選ぶ組み合わせ5C3で

他他赤赤赤 他赤他赤赤 他赤赤他赤 他赤赤赤他
赤他他赤赤 赤他赤他赤 赤他赤赤他 赤赤他他赤
赤赤他赤他 赤赤赤他他

の10種類、なので、それぞれの確率を算出して全てたさなくてはなりません。

赤が４回出るのは、５個から４個選ぶ組み合わせで
４種類、赤が５回出るのは、５個から５個選ぶ組み合わせで
１種類ですがこれらも同様です。

同様に、他の色に付いても計算をすればよいのですが、ある色が
３回以上出たら他の色は２回までなので、独立に計算して
単純に足せば良いことになります。

以上ですが、確率を考える場合、たくさん試行して記録を取り
整理して統計を取るという思考実験は問題を非常に明瞭にします。
迷ったらこの方法をお薦めします。

No.2 ベストアンサー 回答者： English-student 回答日時： 2012/05/17 07:22

この問題は独立試行というより独立試行を繰り返し行う反復試行の問題ではないでしょうか。

独立試行とは、２つの試行の結果が互いの結果に影響しないことを言い、例えば、『白球３個と赤球３個が入ったＡとＢの袋があります。Ａ、Ｂからそれぞれ１つずつ合計２つ取り出すとき、どちらも赤球である確立を求めなさい』というような問題があったとして、Ａから赤、白どちらの球を出したとしても、それがＢから出す球の色に影響を与えたりしませんよね？
この場合、Ａから球を出す試行と、Ｂから球を出す試行が別の作業であり独立していると言うのです。

問題文では、『出した球を戻す』ことで１回目に出した球の色が、２回目に出す玉の色に影響しないため、球を出す試行は独立しています。
では、上記の問題と何が違うのか。それは試行の順番があるということです。上記の問題では、先に球を出す作業をＡ、Ｂ同時に行うことができます。しかし、あなたの質問内の問題文では、１回目、２回目と順番に試行を行わなければなりません。そこで反復試行の考えを利用するのです。

あなたの言う通り、１つの色が３回出る確立は(1/5)3乗、他の色が２回出る確立は(4/5)2乗で表すことができます。ただこれだけではまだある色を５回中３回出す確立を表し切れていません。『５回のうち何回目に出るのか』という考えが含まれていないからです。
そこで、5Ｃ3の意味ですが、これはある色が５回中３回出るとき何回目に出るのか、それは何通りあるのかということを表しています。詳しく書くと((1)(2)(3))((1)(2)(4))((1)(2)(5))((1)(3)(4))((1)(3)(5))((1)(4)(5))((2)(3)(4))((2)(3)(5))((2)(4)(5))((3)(4)(5))の10通りのことを意味しているわけです。
よって、質問内のような式を使って確立を求めることになるのです。

この回答へのお礼

なるほど、何回目に出るかと言う事なのですね。
ほかの方々もご丁寧にありがとうございました＾＾

お礼日時：2012/06/22 05:57

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/17 06:48

5C3が必要な理由は、

赤赤赤××
赤赤×赤×
赤赤××赤
赤×赤赤×
赤×赤×赤
赤××赤赤
×赤赤赤×
×赤赤×赤
×赤×赤赤
××赤赤赤

の10とおりをすべて数え上げる必要があるからです。
5C3とは、5つのものから3つを選び出す組合せの数のことです。
式で書くと
(5×4×3)/(3×2×1)