滑車にかけたロープに2人。一人がのぼる。

Question

滑車にかけたロープの両端に同じ体重の人が同じ高さにつられている。
一人がロープをゆっくりよじのぼっていくとき、二人の位置関係はどうなるのでしょうか？

Quarks · Accepted Answer

人をＡ，Ｂとします（質量ｍ）。
一般的な仮定として、ロープの質量は０，滑車との摩擦などは考えないものとします。重力加速度は下向きにｇとします。
また、最初、二人は同じ高さで、止まっていたものとします。

いま、Ｂが、ロープを力Ｆで下に向かって引いたとします。
その反作用で、Ｂは上に向かってＦで引かれます。
上向きの加速度をｂとして、運動方程式を立てると
Ｆ－ｍｇ＝ｍｂ　　式（１）
ロープはＢ側で、下に向かってＦで引かれますが、質量０という仮定から、ロープに働く合力は０にならなければならず、Ａ側でも下にＦで引かれているはずだということがわかります。
その反作用から、Ａには上向きの力Ｆが働いていると判断できます。Ａについても上向きを正とし、その加速度を上向きにａとすると
Ｆ－ｍｇ＝ｍａ　　式（２）

(1),(2)を比較すると
ａ＝ｂ　でなければならないことがわかります。

つまり、Ａ，Ｂは全く同じ大きさで同じ向きの加速度を受けるわけです。
どの瞬間でも、Ａ，Ｂの速度，変位は一致しているはずですから、常に同じ高さで、同じ速度で動いていることになります。　
Ｆがｍｇより大きければ上に、逆にｍｇより小さければ下に向かう運動をするでしょう。
　
さて、おまけの話題を。
Ｂがロープを"ゆっくり"引いた場合はどうなるでしょうか？
　
「"ゆっくり"とは、加速度が０という意味で、Ａ，Ｂの加速度は０で、Ｂはゆっくり上に移動するが、Ａは元の位置にジッとしているまま」？

いいえ、そんなはずはありません。上の議論から、ａ（同じことですがｂ）は限りなく０に近い値だということしか言えません。つまり、厳密には、０ではないわけで、両者はやはり同じ高さに在るはずです。

「ゆっくり」という言葉をどのように解釈すべきかは、微妙な問題を含んでいると思います。

また、Ｂが或る瞬間にピタッと止まった（ロープをたぐるのを止めた）ら、どうなるでしょうか？

「Ａは慣性で、上に向かって動き続ける。Ｂはその分下がって来る」でしょうか？
　
いいえ、どんな瞬間でも、両者の加速度は一致するのですから、Ｂが止まればＡもまた、同じタイミングで止まるはずです。

fjnobu · Answer

のぼった人の位置が高くなります。のぼらなかった人は元のままです。
でも、重力に影響があるほど高くのぼると、のぼらなかったひとは下がります。

misawajp · Answer

どのような状態になっても釣合っています
急いで上れば、ロープが動くので片方が上がっても両方が釣合うようにロープが移動します

ゆっくり上れば、ロープは滑車との摩擦があるので動きません、よじ登ったほうが高くなりますI(そこでロープをゆすったりすればロープが動いて新しい釣合い状態になります）

tance · Answer

ゆっくりよじ登るということは、摩擦に勝てないのだと解釈すると、釣り合いはなにも変化しません。
もっと勢いよく上った場合は、登る人が加速している間は反対の人が持ち上げられ、登る人が止まるときに元に戻ります。
登る人の加速度がどうなるかは結構面白い問題ですね。

foomufoomu · Answer

答えではないですが、
＞一方の人がロープを引いても、二人の重心の水平位置はかわらないので、
＞他方の人ものぼっていくことになる。
これは、明らかに間違いですね。2人の高さがどうであろうと、重心の水平位置はかわらないですから。

滑車にかけたロープに2人。一人がのぼる。

のぼった人の位置が高くなります。

どのような状態になっても釣合っています

ゆっくりよじ登るということは、摩擦に勝てないのだと解釈すると、釣り合いはなにも変化しません。

人をＡ，Ｂとします（質量ｍ）。

答えではないですが、

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング