マクローリン展開

次の関数のマクローリン展開を求めよ。

（1）（x＋3）/（1＋xー2x＾2）

（2）（1＋x）＾（1/n）

宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/28 11:59

(1)

既に#1さんがおやりの展開で合ってるので省略。

(2)
(1+x)^(1/n)
=1+(1/n)x-((n-1)/(2n^2))x^2+((n-1)(2n-1)/(3!n^3))x^3
-((n-1)(2n-1)(3n-1)/(4!n^4))x^4
+((n-1)(2n-1)(3n-1)(4n-1)/(5!n^5))x^5
...
-((-1)^k)((n-1)(2n-1)・...・((k-1)n-1)/(k!n^k))x^k+ ...

となるかと思います。

No.1 回答者： 151A48 回答日時： 2012/05/28 10:41

(1) f(x)= (x+3)/(1+x-2x^2)=(5/3)(1/(2x+1))-(4/3)(1/(x-1))

と，部分分数に分けて微分して行ったほうがやりやすいでしょう。
1/(2x+1) を順に微分していくとn次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(2x+1)^-(n+1) ・2^n=(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1)
1/(x-1) のｎ次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(x-1)^-(n+1)=(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
f(x)のｎ次導関数は
(5/3)(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1) -(4/3)(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
です。ご自分で確認してください。
これのｘ＝０での値は整理して
(1/3)(n!)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)
これを公式にあてはめていけばよいでしょう。最初の何項かを計算すると
f(x)=3-2x+8x^2 -12x^3+・・・・+{(1/3)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)}x^n+・・・

（２）f(x)=(1+x)^(1/n) のｎじ導関数は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))(1+x)^(1/n-(n-1))
x=0での値は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))
より