
線積分の以下のような問題の解答方法を教えていただきたいです。
(1)∫(C)(x^2ydx-xy^2dy)、Cは(0,0)、(1、0)、(1,1)、(0,1)を頂点とする正方形を反時計回りに一周
僕はまずC1 x=1 0≦y≦1、C2 y=1 ,1≦x≦0 C3 x=0 1≦y≦0
C4 y=0 0≦x≦1のように分け解こうとしましたが解決の位置口はまるでつかめませんでした
(2)Cをxyz空間の(1,0,1)から(2,2,3)へ向かう線分するとき
(a)∫(C)(xy+z^2)ds
(b)∫(C)(xi+yj+zk)・ds
こちらは解答方法が見当もつきません。詳細な回答お願いします。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
#5です。
A#5の補足質問の回答
>(1)の解答はー2/3となっているのですが・・・
下記のC3の積分の積分の上限から下限を引く所でミスがありました。
それを直せば解答通りになります。
>C3での積分
> y=1,dy=0なので
>∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=1/3 ←×
正:∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=-1/3
...
>これらの積分を加えればCでの積分は0と求まります。
これらの積分を加えればCでの積分は
積分=0+(-1/3)+(-1/3)+0=-2/3
と求まります。答えと一致します。
No.6
- 回答日時:
♯3ですが,ご質問があったので・・・・
(1,0,1)+s(1,2,2) の意味から
s=0のとき始点の(1,0,1)
s=1のとき終点の(2,2,3)
よってパラメーターのsは0から1まで動きます。
No.5
- 回答日時:
(1)
C=C1+C2+C3+C4
C1:y=0,x:0→1
C2:x=1,y:0→1
C3:y=1,x:1→0
C4:x=0,y:1→0
のように経路を分割して積分します。
∫[C]=∫[C1]+∫[C2]+∫[C3]+∫[C4]
C1での積分
y=0,dy=0なので
∫[C1]=∫[0→1] 0dx=0
C2での積分
x=1,dx=0なので
∫[C2]=∫[0→1] -y^2dy=[-y^3/3][0→1]=-1/3
C3での積分
y=1,dy=0なので
∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=1/3
C4での積分
x=0,dx=0なので
∫[C4]=∫[1→0] 0dy=0
これらの積分を加えればCでの積分は0と求まります。
(2)
C:(1,0,1)(1-t)+(2,2,3)t=(1-t+2t,2t,1-t+3t)=(1+t,2t,1+2t) (t:0→1)
と書けるので 経路C上では
x=1+t,y=2t,z=1+2t,dx=dt,dy=2dt,dz=2dt ...(★)
ds=idx+jdy+kdz=(i+j2+k2)dtなので
(a)
∫(C)(xy+z^2)ds=∫[0→1](2t(1+t)+(1+2t)^2)(i+j2+k2)dt
=(i+j2+k2)∫[0→1](2t(1+t)+(1+2t)^2)dt
この続きは単なるtの定積分ですから出来ますね。
やってみて下さい。
(b)
内積の定義より
(xi+yj+zk)・ds=(xi+yj+zk)・(idx+jdy+kdz)=xdx+ydy+xdz
(★)の関係を代入して
(xi+yj+zk)・ds=(1+t)dt+4tdt+2(1+2t)dt=(3+9t)dt
であるから
∫(C)(xi+yj+zk)・ds=∫[0→1](3+9t)dt
この続きは単なるtの定積分ですから出来ますね。
やってみて下さい。
分からなければ、補足質問して下さい。
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