逆三角関数 微分

y=arcsin(2x/1+x^2)－arctan(2x/1－x^2)
これの微分の仕方を教えてください。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/02 21:09

まずy=arcsin(2x/1+x^2)とおくと

siny=2x/(1+x^2)
xで微分すると
dy/dx cosy= {2(1+x^2)-4x^2}/(1+x^2)^2
= 2{1-x^2}/(1+x^2)^2
dy/dx= 2{1-x^2}/{(cosy)(1+x^2)^2}
= 2{1-x^2}/{(cos[arcsin(2x/1+x^2)])(1+x^2)^2}・・・(1)

次に、y=－arctan(2x/(1－x^2))とおくと奇関数よりy=arctan(2x/(x^2-1))
tany= 2x/(x^2-1)
xで微分すると
(dy/dx)/cos^2 y={2(x^2-1)-4x^2}/(x^2-1)^2
=-2{x^2+1}/(x^2-1)^2
dy/dx= -2{x^2+1} (cos^2 y)/(x^2-1)^2
= -2{x^2+1} (cos^2 [arctan(2x/(x^2-1))])/(x^2-1)^2・・・(2)

(1)と(2)を足すだけです。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/02 22:44

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/08/02 21:38

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90% …
に詳しい説明があります。
例えば第1項をxで微分すると以下の通り2になります。
y1=arcsin(2x/1+x^2)とおくと
2x/(1+x^2)=siny1
両辺をxで微分して
{2(1+x^2)-2x*2x}/(1+x^2)^2=cosy1dy1/dx
{(2-2x^2)/(1+x^2)^2}/cosy1=dy1/dx
ここで
1/cosy1=1/√(1-sin^2y1)=1/√{1-4x^2/(1+x^2)^2}
=1/√{(1-x^2)^2/(1+x^2)^2}=(1+x^2)/(1-x^2)
よってdy1/dx={2(1-x^2)/(1+x^2)^2}{(1+x^2)/(1-x^2)}=2

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/02 22:43

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/02 22:28

微分する前に逆三角関数を整理しておいた方が良いでしょう。

(1-x^2)が分母にあるのでyは x=±1で未定義。

従って以下のxの範囲を３通りに分ける。

(1)x=±1のとき
yの微分係数は存在しない。

(2)x^2>1（x<-1またはx>1）のとき
　arcsin(2x/(1+x^2))=arctan(2x/(x^2-1))
　arctan(2x/(1-x^2))=-arctan(2x/(x^2-1))
なので
　y=2arctan(2x/(x^2-1))
公式 {arctan(x)}'=1/(1+x^2)と合成関数の微分法を用いて
　y'=2*{2x/(x^2-1)}'/(1+(2x/(x^2-1))^2)
　　=2*{2(x^2-1)-4x^2}/{(x^2-1)^2*(1+(2x/(x^2-1))^2)}
式を簡単にすると
　y'=-4/(1+x^2)

(3)x^2<1(-1<x<1)のとき
　arcsin(2x/(1+x^2))=arctan(2x/(1-x^2))
なので
　y=arctan(2x/(1-x^2))-arctan(2x/(1-x^2))=0
　y'=0

となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/02 22:42