「有効質量」は「質量」とどう違うのでしょうか?

また、「有効」の意味は何なのでしょうか?

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A 回答 (2件)

siegmund です.



半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運動方程式など作ってみると,(2)の定義が妥当であることを示すことができます.
詳細は後述の参考書などごご覧下さい.

一般には,半導体のバンドは異方的なので
(4)  (1/m*)μν = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dkμ dkν}
で有効質量が定義され,テンソル量になっています.
μ,ν = x,y,z です.

特定の電子の速度などが測定できるわけではありませんから,
運動方程式から直接有効質量を測定しようというのは無理です.
半導体中電子の有効質量を測定する手段として有名なのは,
サイクロトロン共鳴,ド・ハース‐ファン・アルフェン効果などが有名です.

有効質量の考え方はバンド構造と共に半導体の基本ですから,
マスターされるようにおすすめします.
今,手元には半導体の専門書が見あたりませんが,
キッテルの「固体物理学入門」にはある程度記述があります.
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この回答へのお礼

こんなにも早くお返事頂けるなんて感激です。ありがとうございます。
とても勉強になりました。これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/05/18 07:08

いろいろな影響があると,物体の運動は一般に自由なときとは違って来ます.


運動の仕方が全く違ってしまうときもありますし,
自由なときと似ていることもあります.
後者の場合で,
自由なときに比べてあたかも質量が変化したような運動をする場合があり,
その質量を有効質量と呼んでいます.
「有効」は effective の訳,「実効的な」というような意味です.

有効質量の思想は多くの分野で使われています.
どういう分野,どういうレベル,どういう立場かを明確にされた方が
回答も出やすいと思います.
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この回答へのお礼

早速の回答、ありがとうございます。
私は、半導体について勉強しております。

更に質問で恐縮ですが、実際に有効質量を測定したい場合には、
どのようにすればよろしいのでしょうか?

運動方程式、m*dv/dt=eE  E:電界 
から求めればよいのでしょうか?

お礼日時:2001/05/17 13:34

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Q有効質量とバンド質量

はずかしながら、先日まで”有効質量”と”バンド質量”を同じものと
思っておりました。ある文献で、「有効質量とバンド質量の比」という
言葉に出会い、両者は異なるものであると分かりました。
有効質量が質量テンソルで表されることは知っております。
バンド質量はどのように定義されるのでしょうか。

Aベストアンサー

有効質量とは、結晶中の伝導電子がもつ実効的な質量(理化学辞典より)。
有効質量は、様々な効果の結果生じるもので、そのうちの一つがバンドの効果です。バンド質量は、
 (1/m*)_ab = h^(-2) (∂^2E/∂k_a∂k_b) (a,b=x,y,z)
 (ただしh はエイチバーのこと)
で与えられます。これもテンソルですね。
有効質量は、バンドの効果以外に電子間相互作用、電子格子相互作用の影響も受けます。「有効質量とバンド質量の比」というのは私も聞いたことがあります。その話はたぶん重い電子系だと思います。重い電子系では、有効質量は元の質量の1000倍にも達する場合がありますが、それは主に電子間相互作用によるもので、バンドの効果はあまりありません。このときの電子間相互作用の効果の割合を見積もるのに「有効質量とバンド質量の比」という形で表したものだと思います。

Q画像のRL交流回路の有効電力について、解答はP=24(W)です。 なぜ「有効電力」なのに「有効電圧」

画像のRL交流回路の有効電力について、解答はP=24(W)です。

なぜ「有効電力」なのに「有効電圧」×「有効電流」で計算すると間違いなのでしょうか

この回路に掛かっている電圧の内有効分は3V、流れている有効電流は4Aなので電圧の三角形、電流の三角形の底辺同士を掛ければ電力の三角形の底辺になると考えたのですが…

Aベストアンサー

そもそも有効電圧とか有効電流なるものは有りませんし、あなたのゆうところのものは
電圧と電流のフェイザー表示の実部に過ぎないです。

位相を適当に定義しなおして、電圧の実部が0なるように
電圧を定義し直すのは簡単。するとあなたの計算では電流の
位相や大きさに関わらず、有効電力は常に0になってしまいます。

これだけ考えただけでも間違いであることは明瞭です。

Qバンド帯、有効質量

負の有効質量

有効質量について勉強していて
根本的に分かってない部分も多いのですが、半導体の価電子帯を勉強してました。
そこでE-k曲線が上に凸をむくので頂点付近は有効質量は負になる、そこは納得しました。
-x方向に電界Eをかけた場合電子が+x方向に動く。しかし有効質量が負なので電界と電子の動く向きが同じ、
つまりは正の有効質量と正の電荷である正孔が動いていると見える(省略あり)。とのことですが
ここでよくわからない点があります。
教科書等の説明で-k方向に電界Eかけたらなぜ電子は+kに動くのですか?電子の有効質量が負というなら電子自体が実際とは逆に動くように思うのですが。もしくは有効質量が負というのは熱励起してホールとなった部分だけなんでしょうか?
電界を-k方向にかけて逆に電子(マイナス)が+kに動くので抜け穴(正孔)が反対に動く。でもそれだと’電子’は負の有効質量ではないということになるんですが。
それとk空間で-kに電界かけてもxyzだとどうなるのかがk空間の勉強不足なのでわかりません。
教科書や
www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=DownLoad&file=200927128-28-0-49.pdf&type=cal&JWC=200927128
を参考にしました。

負の有効質量

有効質量について勉強していて
根本的に分かってない部分も多いのですが、半導体の価電子帯を勉強してました。
そこでE-k曲線が上に凸をむくので頂点付近は有効質量は負になる、そこは納得しました。
-x方向に電界Eをかけた場合電子が+x方向に動く。しかし有効質量が負なので電界と電子の動く向きが同じ、
つまりは正の有効質量と正の電荷である正孔が動いていると見える(省略あり)。とのことですが
ここでよくわからない点があります。
教科書等の説明で-k方向に電界Eかけたらなぜ電子は+...続きを読む

Aベストアンサー

まず、"運動量(k)の方向に物体が動く"ことは無意味です。"電界をかけたらkの方に動く"というのは、多分"電界をかけたらkが変わる"ことを書き間違えているのでしょう。電子(物体)が動くのは、あくまで実空間(x, y, z方向)です。

上向きと下向きの双曲線のバンド図(E-k図)が示している最も単純な意味は、∆kの変化によって、電子と正孔のエネルギー(E=mv^2/2)の変化量(∆E)が逆であることです(k=0からだと電子のエネルギーか増えるのに対し、正孔のエネルギーは下がる)。正孔はそういう特性を有する"粒子"なのです。

そうすれば、電界(EF)中を移動すれば、電子なり正孔のエネルギー(m v^2/2)は(q EF ∆x)だけ変化します。∆xが同じだとしたら、電子と正孔ではqの負号が逆でなければなりません。
すなわち、力学的なエネルギー(m v^2/2)と電気エネルギー(q EF x)を整合さすためには、正孔の電荷(-q)は電子と逆負号でなければなりません。
ここまでが、バンド理論からの要請だと思います。すなわち、"正の電荷を持ち、(奇妙にも)負の質量を持った粒子"が要請されている訳です。

次に、これをどう解釈するかです。
電子の占め得る空席があって、電界が掛かった時にこれを順に電子が埋めて行くと、あたかも"正電荷"が電子と反対方向に動いているように見えると、よく説明されています。
それなら、電子だけを考えているのだから、(あなたのいうように)負の有効質量を考える必要はありません。
しかし話は逆でして、これは先の"正の電荷を持ち、奇妙にも負の質量を持った粒子"を説明する手段です。説明には良く分かった物を使わねばならないので、電子が持ち出されているだけです。
ともかくも、この電子の玉突き運動は、"電界が掛かった時に正電荷が電子と逆の方向に移動する"ことを説明しているだけです。
ところが、正孔は(力学的)エネルギーも有しているので"重さ"も持ってなければならないのですが、"電子の玉突き運動"ではこの"重さ"を説明することが出来ません。

ちなみに、正孔を説明する際に、価電帯に電子が詰まっていると正味の電流が流れないことに関係づけた説明がよくなされてます。
k=0に対して対称的なE-k図が成り立つならば、価電帯を満たす全ての電子の運動量が同じ∆kだけ変わっても、+∆kと-∆kが相殺されて運動量は変わらない。電子による電流も変わらない。そこに、電子の穴が一つあったら、電子1個分の同じ電流が電子と逆方向に流れる。そのことをもって正孔による電流と考えれば良いとする説明です。
これは、電気的な運動の説明に過ぎません。
"重さ"については、説明になってないどころか、むしろ深刻な矛盾があります。価電帯の全電子が動いたとするならば、運動量の総計は変わりませんが、運動エネルギーの総計は大きく増えるからです。このため、価電帯の全電子が移動することはあり得ないし、仮想的に考えることも無意味だと思います。

結局、かつて(1930年頃)電子とほぼ同じ"質量"と全く同じ"電荷の大きさ"を持ち、力学的にも電気的にも"電子とは逆の方向に動く粒子"の存在が理論的に要請されて、それを"正孔"と名付けたのです。
そして、この粒子を現在の教科書は的確に説明しておりません。今日まで、量子力学は摩訶不思議であるというお題目に逃避したままなのだと思います。

初心に立ち返り、"力学的にも電気的にも電子とは逆の方向に動く機構"を分かり易く説明する試みがあっても良いのではないかと思います。

まず、"運動量(k)の方向に物体が動く"ことは無意味です。"電界をかけたらkの方に動く"というのは、多分"電界をかけたらkが変わる"ことを書き間違えているのでしょう。電子(物体)が動くのは、あくまで実空間(x, y, z方向)です。

上向きと下向きの双曲線のバンド図(E-k図)が示している最も単純な意味は、∆kの変化によって、電子と正孔のエネルギー(E=mv^2/2)の変化量(∆E)が逆であることです(k=0からだと電子のエネルギーか増えるのに対し、正孔のエネルギーは下がる)。正孔はそういう特性を有する"粒子"なのです。
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Q「質量」と「重さ」

よろしくお願いします。

4日前に似た質問をしたのですが、質問の仕方が悪く、回答された方々のお手を煩わせるだけになってしまいました。
質問を変えます。

【今回の質問】
「重さは力だから、質量(mass)のことを重さと言ってはいけない」と言い出したのは誰か?(外国人でもOK)

人名がわからない場合は、歴史ないしは経緯でもOKです。

Aベストアンサー

 以下、「マッハ力学 力学の批判的発展史,エルンストマッハ,昭和56年(第10刷),講談社」からの引用です。(注:**)は、自分の意見です。

 (1)同書第II章§3でマッハは、ニュートンの仕事を概観し、その中で重力を明らかに力として扱っていると思われます。pp.175。

   彼は(注:ニュートンは)万有引力という事実から出発した。

 (2)同pp.176~177で、重力加速度に関連付けて、

   ・・・それまで物体に固有で不変な一つの標識と認められていた重さ(注:重量と思われる)が実は変化するという考えになる。このことによって初めて、質量と重さの概念が分離したのである。

  という記述があります。

 (3)マッハの立場では、運動方程式と作用・反作用の法則の結果として質量が定義されるので(注:第II章§5)、それへの導入としてpp.178。

   ・・・質量とは体積と密度の積で表される物体の物質の量であるとする定義はよくないということである。

 (3)pp.181では、

    したがって同一地点における(注:同一重力加速度下では)重さによって質量を測ることができよう。

  という記述もあります。


 このような事を言ったのは、マッハが最初でないかも知れませんが、体系付けて述べたのはマッハが最初、という印象を持ちます。すこし後のヤンマーは、相対論も考慮して「質量の概念」という本を出してたはずです。ブリユアンについては、重力の非線形効果により重力質量が閉じ込められて、ブラックホールを外部から観測すれば、重力質量<慣性質量となるだろう、という話をどこかで読みました。

 当然の事ながらマッハは、重力質量と慣性質量を区別しません(誰かに言われたら、そんな区別は無意味だ!、と言った気がします)。#4さんの引用は、そのあたりの事情なのかな?と想像しました。

 最後に自分はニュートンに一票入れません。ニュートンは、「・・・力とか衝撃とか、重さとか質量とかは数学的用語として無差別に使い・・・自然の振る舞いを、だた数学的に記述するだけだ」という旨の宣言を、プリンキピアの冒頭で行いますから。心の中は知りませんけど・・・。

 以下、「マッハ力学 力学の批判的発展史,エルンストマッハ,昭和56年(第10刷),講談社」からの引用です。(注:**)は、自分の意見です。

 (1)同書第II章§3でマッハは、ニュートンの仕事を概観し、その中で重力を明らかに力として扱っていると思われます。pp.175。

   彼は(注:ニュートンは)万有引力という事実から出発した。

 (2)同pp.176~177で、重力加速度に関連付けて、

   ・・・それまで物体に固有で不変な一つの標識と認められていた重さ(注:重量と思われる)が実は変化するという...続きを読む

Q摂動論の適用限界ってどのくらい?

量子力学の摂動論について質問です。
摂動H'がHに比べて十分小さい時摂動論の適用が可能だといっていますが、実際どの程度のオーダーまで可能なんでしょうか?

先生に聞いた話では、摂動によって波動関数ψk,エネルギーEokが変化するが、変化後の波動関数ψk’が摂動前の他の固有状態のEq(k≠q)と同じような値をもつほど変化させることはできない、そんな大きい変化は摂動として取り扱えないんじゃないかという事でした。

また、系が縮退しているときには1次摂動の波動関数の係数が発散してしまうとあったんですが、これも適用限界ですか?

Aベストアンサー

摂動の適用範囲の明確な理論はしりません。数学的にそのような理論が存在したとしても実際の物理の応用で摂動の適用限界を与えるほど高度な理論は無いと思います。非常に大事なことなんでしょうが、実用的な適用限界に関する数学的理論を得るにはまだまだ時間がかかると思います。

よくやるのは摂動項をいれて補正が小さければよいだろうという事くらいだと思います。または数値的に問題が解ける場合はそういった他の方法で確認します。摂動の高次を計算したときも補正があまり大きいとおかしいというだけで、厳密な理論はないと思います。

これらの問題は量子力学に限らず古典力学でもありますが、やはり一般解が得られていない場合は非常にデリケートな問題です。最近は数値的にやる事が多いですが、摂動で解の振る舞いを予想できる場合には数値解析する場合でも大きな助けになりますからあなどれません。つまり摂動計算を100%信用するのは危ないが、それでも非常に役に立つという感じでしょう。

また摂動で答えが出てきたからといってそれが全てだと誤解してはいけません。なぜなら摂動では得られない効果が存在することが知られています。そういった例では古典近似(WKB法)などで解を求めます。得られたWKB法の解(これも近似解)の周りで摂動を計算するというのがよくやられる方法です。

縮退がある場合の摂動法は存在します。普通のテキストなら縮退がある場合の摂動という章が存在すると思いますのでそちらを参考にしてください。

摂動の適用範囲の明確な理論はしりません。数学的にそのような理論が存在したとしても実際の物理の応用で摂動の適用限界を与えるほど高度な理論は無いと思います。非常に大事なことなんでしょうが、実用的な適用限界に関する数学的理論を得るにはまだまだ時間がかかると思います。

よくやるのは摂動項をいれて補正が小さければよいだろうという事くらいだと思います。または数値的に問題が解ける場合はそういった他の方法で確認します。摂動の高次を計算したときも補正があまり大きいとおかしいというだけで、...続きを読む

Q「kg」「kgf」「N」「g/mm」「μ」「ε」

初歩的な質問ですみません。
「kg」「kgf」「N」「g/mm」「μ」「ε」
これら単位(?)の事を教えてください。
又、参考になるサイト等ありましたら教えてください。

Aベストアンサー



参考URL:http://www2.tokai.or.jp/hiramatu/onyak/tani.htm

Q有効質量について教えてください。

「有効質量」は「質量」とどう違うのでしょうか?

また、「有効」の意味は何なのでしょうか?

Aベストアンサー

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運動方程式など作ってみると,(2)の定義が妥当であることを示すことができます.
詳細は後述の参考書などごご覧下さい.

一般には,半導体のバンドは異方的なので
(4)  (1/m*)μν = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dkμ dkν}
で有効質量が定義され,テンソル量になっています.
μ,ν = x,y,z です.

特定の電子の速度などが測定できるわけではありませんから,
運動方程式から直接有効質量を測定しようというのは無理です.
半導体中電子の有効質量を測定する手段として有名なのは,
サイクロトロン共鳴,ド・ハース‐ファン・アルフェン効果などが有名です.

有効質量の考え方はバンド構造と共に半導体の基本ですから,
マスターされるようにおすすめします.
今,手元には半導体の専門書が見あたりませんが,
キッテルの「固体物理学入門」にはある程度記述があります.

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運...続きを読む

Q違う質量の物を落としたときのエネルギー?

先日No.1395198の質問「半径R、速度vで回しているものに質量Mのものが外れてて飛んでいく速度を、何Mの高さから落とした時と同等の速度か換算したい」という質問をしました。
その答えは出たのですが、でた高さがとても高かった為、おもりの重さを軽くして調整しようとしています、
位置エネルギーmghを使って、mgh=MgHと計算するとどうもおかしいので、どうしたらいいのか教えて下さい。

Aベストアンサー

質量Mの位置エネルギー Mgh (g:重力加速度、h高さ)

速度vを持つ質量mのエネルギー 1/2mv^2

を等しくさせてやれは良いのでは?
 Mgh = 1/2mv^2 
 Mh  = 1/2mv^2 /g
M、hどちらでも変化させて上式を満足出来る値を選べばよいと思います。 

Q電磁波を摂動項として考えるとき

光の吸収や放出を考えるとき、光(電磁波)を摂動項として考えています。摂動項とは非摂動ハミルトニアンに比べて非常に小さい物を選ぶと書いてあるのですが、電磁波は非常に小さいのですか?
どうやって小さいと判断したらいいのかわかりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

摂動展開は経路積分を使って導くのが標準的ですが、分かりやすさを旨としてold fashioned perturbation theory を述べます。電磁場がないときのハミルトニアンをH0、電磁場との相互作用をVとし、プランク定数を1にとるとSchroedinger方程式は
 idΨ/dt = (H0 + V)Ψ
ここでVは電荷eに比例します。
相互作用描像の波動関数ΨintをSchroedinger描像の波動関数Ψから

 Ψint(t)= exp(iH0 t)Ψ(t)

で定義すると容易に分かる様にΨintは
 idΨint/dt = V(t)Ψint(t)
 V(t) = exp(iH0 t)Vexp(-iH0 t)
を満たします。逐次代入法で解くと
 Ψint(T)
  = Ψint(0)-i∫[0~T]dtV(t)Ψint(0)
  +(-i)^2∫[0~T]dtV(t)∫[0~t]dt'V(t')Ψint(0)
  +…

となります。従って摂動展開は相互作用の強さeのベキ級数の形になります。観測される電子・光子の数を一定とすると、高次の摂動は最低次の摂動に観測されない内部電子・内部光子を付け加えたものになるので、最低次が2次なら、その次は3次ではなくて4次、6次…のようにe^2 のベキになります。
 e^2 = 1/137.04 ≡ α
は物理学の基本的な定数です(eは電子電荷1.6×10^-19Cとするとe^2は1/137にならないと思われるかもしれませんが、無次元化すると約1/137になるます)。漸近級数はパラメータが0に近い時始めの数項をとると良い近似になります。(前の回答でパラメータが1より小さい時とあるのはパラメータが0に近い時に訂正させて下さい)前の回答のURLのHTMLバージョンは図がうまくでないようなのでTom Heinzl,Strong-Field QED and High-Power LasersのPDFをダウンロードすることをお勧めします。

摂動展開は経路積分を使って導くのが標準的ですが、分かりやすさを旨としてold fashioned perturbation theory を述べます。電磁場がないときのハミルトニアンをH0、電磁場との相互作用をVとし、プランク定数を1にとるとSchroedinger方程式は
 idΨ/dt = (H0 + V)Ψ
ここでVは電荷eに比例します。
相互作用描像の波動関数ΨintをSchroedinger描像の波動関数Ψから

 Ψint(t)= exp(iH0 t)Ψ(t)

で定義すると容易に分かる様にΨintは
 idΨint/dt = V(t)Ψint(t)
 V(t) = exp(iH0 t)Vexp(-iH0 t)
を満たしま...続きを読む

Q構造力学)「応力」「歪み」「降伏」の意味が分からん

建築の勉強をしている者です。

応力-歪み曲線 ってありますよね。
参考➡(http://jikosoft.com/cae/engineering/strmat08.html)
これの意味がイマイチ分かりません。
降伏までの間、応力(=荷重?)に比例して歪み(=変位?)が大きくなっていくのは分かるのですが、降伏すると、ちょびっと応力が下がって、そのまま歪みだけ大きくなりますよね。何故?
そもそも何故応力(=荷重?)が下がるのかが分かりません。

なんか質問が下手で恐縮なのですが、どなたか分かり易く解説してくださいませんでしょうか。分かり易い解説サイトのURLでも構いません。
よろしくお願いいたします。
以上

Aベストアンサー

NO.1 です。

>その「参った!」が感覚的によく分からないんです。
「応力が下がる」っていう状態がどういうことなのかがよくわかりません。。。


上降伏点を過ぎると、材料の組織の中で元に戻ることのできない破壊がはじまるのです。それで、単位面積当たりの「がんばり力」が急激に減り、結果的に全体でのがんばり力も下がって伸びだけが大きくなるということです。がんばり力=単位面積での応力の全面積分 です。


>応力という概念に対する理解が足りないのでしょうか。
どのテキストを読んでも「部材内部に生じる力」的な抽象的な表現

応力という概念がわかりにくいようですので、ちょっと噛み砕いて説明します。

力がかかってきたときに、その材料は一見何の変化もないように見えますが、考え方として、その材料ではそのとき、その力に対抗して、その真逆の力を内部に発生させてその力に対抗している、と考えるのです。それが応力です。そのために材料は平気でがんばれるのだと考えるわけです。それができなくなった材料は目に見えて伸びるか、引きちぎれてしまうということです。そういうことが鉄鋼でも実際に起きるということです。

NO.1 です。

>その「参った!」が感覚的によく分からないんです。
「応力が下がる」っていう状態がどういうことなのかがよくわかりません。。。


上降伏点を過ぎると、材料の組織の中で元に戻ることのできない破壊がはじまるのです。それで、単位面積当たりの「がんばり力」が急激に減り、結果的に全体でのがんばり力も下がって伸びだけが大きくなるということです。がんばり力=単位面積での応力の全面積分 です。


>応力という概念に対する理解が足りないのでしょうか。
どのテキストを読んでも「部材内部...続きを読む


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