「有効質量」は「質量」とどう違うのでしょうか?

また、「有効」の意味は何なのでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

siegmund です.



半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運動方程式など作ってみると,(2)の定義が妥当であることを示すことができます.
詳細は後述の参考書などごご覧下さい.

一般には,半導体のバンドは異方的なので
(4)  (1/m*)μν = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dkμ dkν}
で有効質量が定義され,テンソル量になっています.
μ,ν = x,y,z です.

特定の電子の速度などが測定できるわけではありませんから,
運動方程式から直接有効質量を測定しようというのは無理です.
半導体中電子の有効質量を測定する手段として有名なのは,
サイクロトロン共鳴,ド・ハース‐ファン・アルフェン効果などが有名です.

有効質量の考え方はバンド構造と共に半導体の基本ですから,
マスターされるようにおすすめします.
今,手元には半導体の専門書が見あたりませんが,
キッテルの「固体物理学入門」にはある程度記述があります.
    • good
    • 1
この回答へのお礼

こんなにも早くお返事頂けるなんて感激です。ありがとうございます。
とても勉強になりました。これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/05/18 07:08

いろいろな影響があると,物体の運動は一般に自由なときとは違って来ます.


運動の仕方が全く違ってしまうときもありますし,
自由なときと似ていることもあります.
後者の場合で,
自由なときに比べてあたかも質量が変化したような運動をする場合があり,
その質量を有効質量と呼んでいます.
「有効」は effective の訳,「実効的な」というような意味です.

有効質量の思想は多くの分野で使われています.
どういう分野,どういうレベル,どういう立場かを明確にされた方が
回答も出やすいと思います.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早速の回答、ありがとうございます。
私は、半導体について勉強しております。

更に質問で恐縮ですが、実際に有効質量を測定したい場合には、
どのようにすればよろしいのでしょうか?

運動方程式、m*dv/dt=eE  E:電界 
から求めればよいのでしょうか?

お礼日時:2001/05/17 13:34

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q正孔の有効質量とは

半導体の教科書に正孔の有効質量と出てきました
正孔は電子がない状態を表すので質量は0ではないのですか?
わかりません

それと、具体的なその値も教えていただければ
うれしいです

Aベストアンサー

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電界Eによる力ももちろん受けますが、それだけではなくて、結晶中の電子は、周期的に並んでいる原子核から力(本当は量子力学を考えているので、「力」という言葉を使うのはかなり語弊があるのですが)からも力を受けています。しかも、結晶ですから、原子核は近いのから遠いのまで大量にあります。
なんで、結晶中の電子の運動は、実際には、上に書いたような簡単な式では表わすことができません。

な、はずなんですが、実は、うまいこと近似をすると、結晶の原子核たちから受けている力をすべて忘れてしまって、その代わりに、電子の質量がmではなくて、m'になったと思ったような式
F = qE = m'a
で、結晶中の伝導電子の動きが(近似的にですが)記述できてしまうということがわかったんです。本当は、結晶中のすべての原子を考えて、さらに量子力学を考えなければ、結晶中の伝導電子の動きは記述できないはずなのに、実は、それが、古典力学の式で、質量の値を有効質量というものに取り替えると、近似的には、電子が真空中に1個あるのと同じように扱えてしまう、ということです。これを、準古典力学表示 と言っています。
この有効質量というのは、電子の質量というよりは、むしろ、結晶を構成する原子や、結晶の構造によって決まっています。

で、正孔の有効質量ですが、これも、質量となってますが、本当の質量とはほとんど関係ないです。正孔は、本当は電子が抜けた穴なわけですが、その電子の抜けた穴がどう動いていくかを量子力学をつかってきちんと記述するかわりに、ある有効質量をもった+電荷を持つ正孔という粒子が真空中に1個あると思って、古典力学の式を立てると、たまたま、うまくいってしまうんです。

ただし、この準古典力学は、あくまで近似なんで、本当は正しくありません。正確に言えば、ポテンシャル関数の極値の周りでしか成り立ちません。なんですが、半導体では、普通、価電子帯の中で一番エネルギーが高い電子(ポテンシャル関数が極大値を取るところ)と、伝導帯の中で一番エネルギーが低い電子(ポテンシャル関数が極小値を取るところ)、にしか興味がないことが多いので、たいていうまく行ってしまいます。

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電...続きを読む

Q正孔に質量はあるの?

半導体を卒研テーマに選んでいる者です。各種半導体の特性一覧表を見ていて
気づいたのですが、正孔の有効質量という項目があったのです。しかも、重い
正孔と軽い正孔に分けられていました。
正孔に質量があるっていうことが概念的に理解できないんですが・・・。
正孔って電子の抜け殻(?)ですよね。だから実際には存在しない物のはずなのに
とおもったりしています。

Aベストアンサー

これは、正孔そのものに質量があるのではありません。
あくまでも正孔がもつ、見かけ上の質量です。

正孔=電子の抜穴ですが、たとえば、電圧を印画することで、周囲の電子を移動させ、見かけ上、この正孔を移動させることができます。エネルギーを与えて正孔を動かすわけですが、実際は電子を動かすわけですから、当然のことながら、「正孔の動きにくさ』というものが存在します。これが見かけ上の質量です。

参考URL:http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/z2000-8.html

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q有効質量テンソル

有効質量テンソルってどうゆうものですか??
文献があまりなく、困っています。
詳しく教えていただければありがたいです!!
お願いします!!

Aベストアンサー

>有効質量テンソルってどうゆうものですか??
文献があまりなく、困っています。

キッテルの固体物理学入門の「エネルギーバンド」の章をご覧になってください。概略を言えば次のようなイメージになると思いますが。。。結晶中の電子は周期的ポテンシャルの影響下にあり,この結果,外部から磁場や電場が加わった場合,電子は自由電子の質量mと異なる質量m*を持つかのようように振舞います。このm*を有効質量と呼んでいます。また,結晶が異方性を持つ場合,それが周期ポテンシャルの姿に反映されその結果有効質量はスカラーでもなくベクトルでもないテンソル量となります。これを有効質量テンソルと呼んでいます。

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

Q真性キャリア密度niの計算に関して

半導体工学のテキストに載っている真性キャリア密度の計算ですが
下式が有名ですが、この式と下記のパラメータを使って計算をすると、テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)と違っています。

式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)
ni=√(2.8×10^19×1.02×10^19)×exp(-1.12×1.6×10^-19/2×1.38×10^-23×300)

パラメータ
Nc=2.8×10^19
Nv=1.02×10^19
q=1.6×10^-19
Eg=1.12
k=1.38×10^-23
T=300

計算過程は間違いないと思いますが、1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3の値になりますでしょうか?

Aベストアンサー

昨日から、誰か回答してくれないかなぁと待っていましたが、なかなか現れないので、私が書くことにしました。
しかし、ずいぶん昔のことなので、自信がありませんので、違っているかもしれません。
たぶん次のところではないかと思うんですが。

>式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)

上式は、PN積のni^2が一定となると言うことから、平方根をとっているのではないかと推測します。
この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)

この値は、伝道帯中の自由電子密度だけの値ではないでしょうか?
そう考えて、計算してみると、質問にあるパラメーターを用いて計算しても、1.5×10^10 /cm^3程度の値になります。

計算式は、
ni=Nc×exp(-Eg*q/2*kT)
です。

蛇足ですが、常温(T=300[K])のときのkTの値は、[eV]で表すと、約0.026[eV]となりますので、大雑把に計算するときはこの方が便利です。
ni=Nc×exp(-Eg/2*0.026)

昨日から、誰か回答してくれないかなぁと待っていましたが、なかなか現れないので、私が書くことにしました。
しかし、ずいぶん昔のことなので、自信がありませんので、違っているかもしれません。
たぶん次のところではないかと思うんですが。

>式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)

上式は、PN積のni^2が一定となると言うことから、平方根をとっているのではないかと推測します。
この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキ...続きを読む

Q電子と正孔の有効質量について

正孔と電子を比べると、前者のほうが有効質量は重いわけで、
移動度∝緩和時間/有効質量
の式から、通常、正孔のほうが移動度が小さくなります。
緩和時間は不純物やフォノンとの散乱を考えるわけですが、
重い正孔のほうがフォノンと散乱しやすいということはあるのでしょうか?
あるのだとすると、どうしてそうなるのでしょうか?
ご教示、どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

私は難しい問題だと思います。
単純に重いホールor軽いホールのどちらかのほうがフォノン散乱を
受けやすいと結論することは出来ないと思います。
しいて言うなら、私は軽いホールの方が散乱確率が増すのではないかと
考えます。(あくまで私が考えた結果で、参考意見です)
間違っているかもしれませんが、議論の助けになれば幸いです。

まず飽和速度が関係するような高電界域ではなくて、
ドリフト速度と印加電界が比例する低電界域を前提にします。(Vdrift=mobility x 電界 が成り立つ領域)
このときフォノン散乱の主因は音響フォノンです。
音響フォノン密度は高エネルギーの方が高密度となります。
つまり高い運動エネルギーを持ったキャリアのほうがフォノン散乱を受けやすいことになります。
軽いホールと重いホールのどちらの方が高い運動エネルギーに達しやすいかを
考えると、軽いホールの方が散乱を受ける前に短時間で高エネルギーに達すると思います。
このため軽いホールの方が音響フォノンを吐き出し緩和する可能性が高いように思えます。
どちらが散乱されやすいかというのは単純に有効質量だけで議論できず、私は複雑だと思います。

私は難しい問題だと思います。
単純に重いホールor軽いホールのどちらかのほうがフォノン散乱を
受けやすいと結論することは出来ないと思います。
しいて言うなら、私は軽いホールの方が散乱確率が増すのではないかと
考えます。(あくまで私が考えた結果で、参考意見です)
間違っているかもしれませんが、議論の助けになれば幸いです。

まず飽和速度が関係するような高電界域ではなくて、
ドリフト速度と印加電界が比例する低電界域を前提にします。(Vdrift=mobility x 電界 が成り立つ領域)
このと...続きを読む

Q2次元自由電子の状態密度関数

Z(E);状態密度関数とすると、3次元自由電子の場合、
Z(E)dE=(2m)^(3/2)×E^(1/2)÷(2×π×π×a×a×a) ただしa=h/(2π)
となりますが、2次元自由電子の状態密度関数はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが,幅の dk を掛けるのですから,
dk の1次までの精度では 2πk でも 2π(k+dk) でも同じことです.

3次元の場合は,球の表面積 4πk^2 に「球殻の厚さ」dk を掛けて
4πk^2 dk ですね.

どうしても納得が行かなければ,円環の面積
π(k+dk)^2 - πk^2 = 2πk dk + (dk)^2
を直接求めてみてもよいでしょう.
ただし,これは円の面積がよく知られているからできるのであって,
いつの場合でもこのようにできるわけではありません.
私としては,前の方の考え方に慣れるようにおすすめします.

というわけで,No.2 の補足の secret-goo さんの計算は1スピンあたりになっています.

> 別に回答に文句を言っているわけではなく、
> 単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
> ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

たぶん,どの回答者にとっても回答が読まれて役に立つのは最大の喜びだと思います.
secret-goo さんは回答を読まれて,
さらに自分で考えておられることがよく伝わってきます.
気分を損ねるどころか,「あ,ちゃんと読んでくれたな」というのが私の感想です.

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報