ちょっと変わったマニアな作品が集結

 
教えてください。

ある物理量がベクトル量なのかスカラー量なのかを簡単に見分ける方法を考えています。

ある物理量がベクトル量なのかスカラー量なのかはその単位で判別出来るでしょうか。

単位で判別出来なければどこに注目すればよいでしょうか。

例えば、

電流[A]はベクトル量ですかスカラー量ですか。

水流[m3/s]はベクトル量ですかスカラー量ですか。

磁束密度[WB/m3]はベクトル量ですかスカラー量ですか。
 
またエネルギーであれば、磁気エネルギーも静電エネルギーも位置エネルギーも熱エネルギーも・・・全てその単位が[J]だからスカラーなのでしょうか。
 

 

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A 回答 (6件)

No.4です。


間違い易い場面はありますが、その値が正負以外に向きを持たなければスカラー、向きを伴えばベクトルです。

1) No.4で説明した様に、流量は水路や管路が決められていてそこを流れる総量として定義されるので、そのもの自体は向きを持たず、スカラーです。電流も同じです。

2) 標高(位置エネルギ-)、電位、温度、圧力などは空間の各点で向きを伴わずに大きさが決められるのでスカラ-場です。スカラー場はその大きさ自体よりもその勾配が力との関係で物理的な意味を持つことが多いのでベクトルと間違い易いと思います。地図平面上の各点で大きさが定義される「標高」は2次元のスカラー場ですが、その勾配もやはり地図平面上の各点で決まっていて、勾配は2次元のベクトル場になります。3次元の電位と電界、温度と温度勾配、圧力と圧力勾配の関係も同様です。
ベクトル場の多くはスカラー場の勾配で表されますが、磁場の場合はベクトル場の回転になっています。あらゆるベクトル場は数学的にスカラー場の勾配とベクトル場の回転の合計で表すことができます。

3) 単位では判断できません。圧力はスカラー、応力はテンソルですがどちらも単位はパスカルです。
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考えてみれば、難しい問題ですね。



一晩考えた結論は、
ある物理量Aについて、[Ax, Ay, Az] と方向別に示すことができるなら、それはベクトルでしょう。

エネルギーはベクトルでないという意見がありましたが、
ある発電所から、東西南北に送電するエネルギーをX,Y方向別に集計すれば[Wx,Wy]の形であらわすことができるので、これはベクトルですね。

そう考えると、ほとんどの物理量は、スカラーにもベクトルにも使えることになり、
まったく方向にとらわれることのない物理量だけがスカラーということになりますが・・・時間などが、それにあたるでしょうか。しかし、相対論では、進行速度(加速度)で時間の流れが違ってきますから、方向別の時間も考えられそうです。

純粋なスカラーを探すのは難しそうです。
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この回答へのお礼

 
>考えてみれば、難しい問題ですね。

実際、そうなんです。

私も最初は簡単な問題と思ってたのですが、よくよく考えると難しいです。

そこで単位に注目して考えれば見分けがつくのではないかと考えたのですがあまり旨くいかない。

次に名前に注目して考えれば見分けがつくのではないかと考えたのですがこれも旨くいかない。

例えば密度と聞くとスカラーのように思えますが、磁束密度[WB/m2]はベクトル量です。
 
だから簡単ではない。
 

お礼日時:2012/09/30 12:24

電流や流量は電線や配管によって向きが決められていてそのもの自体は正負以外に向きを持たないのでスカラーです。


電流密度や流速であれば空間の各点で向きと大きさが決まるのでベクトルです。
磁束密度も空間の各点で向きと大きさが決まるのでベクトルです。
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>エネルギーは熱、光、磁気、静電気など全ての種類の~エネルギー[J]において、スカラーと考えてよいですか。


そうです.単位がJでなくともスカラーである場合はたくさんあります.例えば,

質量,電荷,温度,電気回路の抵抗などなど

座標変換によって不変な量はすべてスカラーです.
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ベクトルとは大きさと向きをもった量と高校で習いますが,数学的に言うと



ベクトルはその成分が座標変換と同じように変換する量

と定義します.

最も典型的な例は平行移動です.平行移動は始点と終点の座標の差です.速度,加速度もベクトルになります.このとき,時間は座標空間に一定に流れる量としてとらえられます.

スカラーとは座標変換しても不変な量

と定義します.座標に時間座標を含めないで座標変換を考える場合は時間もスカラーです.しかし,時間も第0成分として時空座標変換を考える相対論では時間も座標の一つでスカラーではありません.相対論でスカラーとしてふるまう時間は固有時間と呼ばれ,素粒子の寿命は固有時間で測定したものです.

平面や空間の座標変換は平行移動,回転,対称移動などあるいはその合成ですが,これは長さを不変にするような変換としてでてきました.時空の座標変換も固有時間(あるいは世界距離)を不変にする量としてローレンツ変換としてでてくるのです.

ベクトルかスカラーかは座標変換とのかかわりで定義されます.時間もNewton力学を扱うのか,相対論を扱うのかでスカラーだったりそうでなかったりするので気をつけましょう.
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この回答へのお礼

 
ありがとう御座います。

続いて教えてください。

エネルギーは熱、光、磁気、静電気など全ての種類の~エネルギー[J]において、スカラーと考えてよいですか。
 

お礼日時:2012/09/29 16:54

ある物理量がベクトル量なのかスカラー量なのかはその単位で判別出来ません。



速さはスカラー量ですが、速度はベクトル量。これは日本語の難しさ、速さと言う場合には、向きまで考えていないいからです。

力は全部ベクトル。力はどっち向きか定義しないといけないからです。電場、磁場も同じく向きを持つのでベクトル量です。

スカラー量としては質量がいい例。重量はベクトル量。
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この回答へのお礼

 
ありがとう御座います。
 

お礼日時:2012/09/29 20:15

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Qなぜ、エネルギーはスカラーですか?

自分でもつまらないこととは思っていますが、気になったことがありますので、質問します。
下に関連する項目を順番に並べてあります。

長さ  L   ベクトル
速さ  L/T  ベクトル
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力    ML/T^2   ベクトル
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Aベストアンサー

空間的方向性がベクトルであり、それが時間的方向になると
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に移動していると言えます。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
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(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qsin^2の定積分・・・

こんにちは。テストを控えて家にこもっている学生です。問題が分からなくて困っています。宜しければ、ご教授下さい。
ここでの∫-a b は積分記号の上にbが、下に-aが付く事を表すとします。分かり辛くて申し訳ありません。

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自分としては、sin^2x を 1-cos2x/2 と変形することで、1/2を関係のない定数として前に出して、分解的に積分をして行き、

=1/2[x]-π π ー 1/2[1/2sin2x]-π π
=・・・・

の様に解いていたのですが、答えがどうしても答と一致しません。因みに答えはπになります。この問題の計算の過程を上手く再現して、解答を導いていただける方、解答お待ちしております。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

>∫-π π (sin^2)dx 
通常上付き、下付き文字が使えないとき
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
などと書きます。
sin(x)^2=(1/2){1-cos(2x)}
cos(2x)の周期はπですので、積分区間がπの整数倍であれば積分値はゼロになります。今の場合積分区間は[-π→π]で2πですので積分はゼロになります。
したがって
sin(x)^2は(1/2)だけが積分結果に影響します。
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx -(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx
=(1/2){π-(-π)}


なお、後半の積分を強いてやれば以下のようになります。
(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx=(1/4){sin(2π)-sin(-2π)}=0

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
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ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

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~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

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Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

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Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q加速度を積分すると速度・・・

加速度aを時間tで積分すると速度が出てきて、その速度vを時間tで積分すると位置が出てきますよね。
そのときの初期条件の設定の仕方はがわかりません。
詳しく教えてください。

Aベストアンサー

加速度aを時間tで積分すると積分定数が出てきますよね。それが初速度となります。
次に速度vを時間tで積分すると、また積分定数が出てきます。それが基準点である位置となります。

例えば、ある物体が時刻t=0(s)のときの加速度a=6(m/s^2)、初速度v=10(m/s)、位置x=1(m)の状態のとき時刻tにおける速度、位置を求めよ、という問題があったとします。

vはaを時間tで積分してv=6t+C(Cは積分定数です)となります。
このときのCが初速度10となります。
なので時刻tにおける物体の速度vはv=6t+10(m/s)となります。

次にさきほど求めたvを時間tで積分して、時刻tにおける物体の位置を求めます。
v=6t+10を時間tで積分するとx=3t^2+10t+C’(C’は積分定数です)となります。
このときのC’が物体がはじめにあった位置1となります。
なので時刻tにおける物体の位置xはx=3t^2+10t+1(m)となります。

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
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Q負圧の意味がわかりません

ある装置の説明に「負圧度-1.0MPaとする」という記載がありました。
物理が苦手で負圧の意味すらわからないくらいなんですけど
これってどうゆうことか説明できる方いますか?
圧力ってマイナスにはならないのじゃ・・・って思っているのですが。
少しでも知識のある方助けてください。

Aベストアンサー

密閉した部屋の換気扇(部屋の中から外へ)が作動した時にその部屋気圧は下がっていきます。この時の圧を負圧、静圧といいいわゆる真空になるように働く圧を言います。
逆に外から部屋の中に送るように働いた時を正圧、陽圧といいます。
「負圧度-1.0MPaとする」というのは真空状態にして行き1.0MPaとなった状態を意味します。この時に正圧と間違えないように-を付けていると思います。「負圧1.0MPa」または「真空圧1.0MPa」との表示でも良いと思います。

Q単振り子の周期

次元解析の所で、単振り子の問題が出てきました。単振り子の周期Tの公式は、2π*√l/g(lは振り子の長さ、そしてgは加速度)という事はインターネット上で分かったのですが、なぜこうなるのかがわかりません。物理学を初めて勉強し始めたので、回答者さんにとっては初歩的なことかもしれませんが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

振り子は小振幅においても円運動です。円運動の中心角をθ(シーター)として、重力加速度gの円周方向成分gsinθが重りmを静止位置に向かう力mgsinθとなります。重りmが半径lの円周上を動く距離xはx=lθです。
ニュートンの運動方程式F=maは、力Fがmgsinθ、加速度aがd2x/dt2に対応して
mgsinθ=md2(lθ)/dt2となります。両辺のmは消えて、定数lは微分の外に出て、
sinθ=(l/g)d2θ/dt2と式が整います。これが振り子の運動方程式ですが非線形方程式であるので解は初等数学では求まりません。しかし振幅が小さければsinθ=θと近似できるので式は
θ=(l/g)d2θ/dt2となります。この解はθ=Acos(2πt/T)であり、これを2回微分して比べれば周期Tは√(l/g)であることが分かります。
sinθ=θは線形近似と呼ばれますが振幅の線形近似であって運動を直線近似してるのではありません。

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。


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