内積とは？

Question

ベクトルを内積すると何がわかるのか教えてください。
根本的な意味を知りたいです。

BookerL · Accepted Answer

「根本的な意味」といわれると、ちょっと引いてしまうのですが、私の「内積」の物理的イメージは次のようなものです。

　二つの量の積で表される量を考えます。例えば「仕事」。これは物体に加わる「力」と、その力が移動した「距離」の積で表されます。
　このとき、力の向きと移動の向きが同じであることが必要です。これが垂直であると、仕事は０になります。

　では、それらの向きの間の角度が一般的な角度のとき、仕事はどう計算されるか、というものが内積で、
　仕事＝力のベクトル・変位のベクトル （内積）
となります。数値的には　Ｗ＝Ｆｘcosθ ようになります。

　同じ向きであればそれらの大きさの積で計算される量が、向きが違うときにはベクトルの内積で計算できる、という感じです。

※垂直な向きの量の積が問題になる場合、例えば磁場の中の電流が受ける力の大きさは、磁場と電流が垂直な向きのときが基本になりますが、一般的な角度のときはそれらの量の「外積」が使われます。数値的にはＦ＝ＢＩsinθ のような形になります。

　以上はあくまで私の持っている内積の個人的なイメージで、もちろん厳密なものではありません。

ka1234 · Answer

こんにちは。

＞根本的な意味を知りたいです。

内積をベクトル空間に導入すると「計量」できるようになります。
すなわち、「距離」と「角度」が導入されることになります。

例　仕事の定義　W＝∫f・ds

これは、微小変位ベクトルdsの向きに力ベクトルfを射影したものと考えられます。
すなわち、「どれだけの力を加えたか」ではなくて、
実際に進行方向に「どれだけの力が加わったか」を測っていると言えます。
いくら力を加えても、進行方向に力が加わっていなければ「仕事は０」です。

このように、内積というのは、自分の考える向きに「実際にどれだけの値を持つか？」
を調べるのに用いる事ができます。

chipndale#2 · Answer

こんにちは。

私も質問者様同様の疑問を持ちました。高校で初めて内積を勉強して「こんなもの、いったい何の役に立つの」と思っていました。その後物理の勉強を少しかじるチャンスに恵まれました。

物理の世界では内積は極普通に出てきます。極端に言えば水や空気みたいな存在です。ですから「何がわかるのか教えてください」とピンポイントで指摘しろといわれると逆に困ってしまいます。内積なんて言うあんな物が物理や工学では大変重要な武器になっています。不思議ですね。

N64 · Answer

私が一番好きなのは、内積がゼロだと、二つのベクトルが直交していることが、わかることです。

ddtddtddt · Answer

個人的には、
　　内積　⇔　余弦定理　　　(1)
で納得してます（安易かな？）。では(1)に何を見るのか？。

　(1)物理なら、#1さんのような見方も可能．
　(2)測量なら、辺の長さから角度がわかる、という見方も可能．
　(3)数学で深追いすれば、距離の定義に関連付ける事も可能．

となって、色々な見方が出てきます。「根本的な意味」の根本が、何を意識したものなのかを、もう少し説明した方が、皆さん応えやすいと思います。

内積とは？

「根本的な意味」といわれると、ちょっと引いてしまうのですが、私の「内積」の物理的イメージは次のようなものです。

こんにちは。

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