解いてください

図のように、長さLの直線上に、電荷が線密度λで一様に分布しているものとする。a：Lが√3：1のとき、原点Oから垂直に距離aだけ離れた地点における電場の強さを求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： muneneko 回答日時： 2012/11/14 05:58

図はa:L = 1:√3に見えるのですが、これは図がそういう風に描いてあるだけなのでしょうか。

図の見た目通り、a:L = 1:√3で計算してみます。

線密度λなので、微少区間dxにある電荷はλdxになります。
長さLの直線上における座標(x,0)からy軸上の座標(0,a)に向かうベクトルはr↑=(-x,a)なので、微少区間dxが座標(0,a)に作る電場ΔEは

ΔE = λdx/4πε0・(-x,a)/(a^2+x^2)^3/2　…(1)

になると思います。
これをxが0→√3aの区間で積分すると、電場のx成分Exは

Ex = -λ/4πε0・∫[x=0→√3a]dx・x/(a^2+x^2)^3/2

t = a^2+x^2　として置換積分で計算します。
数学が苦手なので、あまり自信はありませんが、

Ex = -3λ/16πε0・1/a^2

になると思います。
次に電場のy成分Eyは、同様に(1)式をxが0→√3aの区間で積分し

Ey = λa/4πε0・∫[x=0→√3a]dx・1/(a^2+x^2)^3/2

こちらは図から

x = a・tanθ　
dx = a・secθ^2dθ

として置換積分を行います。
こちらも同様に自信がありませんが

Ey = √3・λ/8πε0・1/a

になると思います。

なので、E = (-3λ/16πε0・1/a^2, √3・λ/8πε0・1/a)

一度自分で計算してみてください。