数学・組み合わせの質問です。

次の図形を6色の色で塗り分けるとき、塗り方は何通り？という問題で

（１）立方体：上を固定して下は5通り、側面は円順列　よって5×3!=30とおり

（２）直方体：上下をきめて側面は円順列　よって6Ｃ5×3!=９０とおり

（３）上下大きさの違う正方形に側面は合同な台形の立体：
　　上は6通り下は5通り側面は円順列　よって6×5×3!=180通り


なんでこんな違いが出るのかわかりません。特に立方体と直方体に違いが出るのが
わかりません。

No.1 回答者： dnp121133 回答日時： 2012/12/08 22:42

○○を決めて…、という部分に、納得がいかない状況なのかと。

図面を書きましたので、ご参考までに。

正方体に関しては、問題文では、上を固定して…とありますが、
実は、どの面を固定してから考えても、同じ状況になります。

直方体の場合は、考え始める面を「最短手」では、
上の面を定めて、次に下の面を定めて…と、考えることになります。

側面から先に決めていく方法もあろうかと思いますが、
パターンが多くなりそうですので、「上」と「下」から
考えているのかと思われます…。

※まずは、図面を書いて、落ち着いて考えてみましょう。

No.2 ベストアンサー 回答者： dnp121133 回答日時： 2012/12/08 22:51

No.1です。

すみません。マルチメディアファイル（画像）を誤って
消してしまいました。ごめんなさい。

もう一回、再回答します。すみません…。

なお、先の文章の「正方体」は、「立方体」の誤りです。

この回答へのお礼

立方体の時は、上下で考えない方がいいみたいですね。
図付でわかりやすかったです。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/09 10:05

No.3 回答者： floriography 回答日時： 2012/12/08 23:10

（１）も（２）どちらも（３）と同じで

6×5×(4-1)！
でしょう、と考える。
それはそうなのですが、

（１）の場合
　　　最初に塗った色を基準にして考えますが、
　　　立方体はどの面も平等ですから、6通りではなく1通りです。
　　　これに気が付くと最初の6×はいらないよね、となり
　　　５×（４-１）！＝３０通り
　　　これが「上を固定して」

（２）の場合
　　　直方体は６面すべて平等ではありません。
　　　でも向かい合う２面が合同です。
　　　なので、円順列180度回転して同じとなりるパターンを
　　　除かなければなりません。
　　　6×5×(4-1)！を2で割らなければなりません。
　　　６×５×（４－１）！÷２＝９０通り
　　　これが「上下をきめて」

この回答へのお礼

わかりやすかったです。
ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/09 10:18

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2012/12/09 04:37

＞直方体：上下をきめて側面は円順列　よって6Ｃ5×3!=９０とおり

これは、6Ｃ2×3!=９０とおり　の間違いでしょうか。
ただしこれは、底面が正方形のときの直方体の数え方です。


直方体と言ったら、普通は縦・横・高さの長さがそれぞれ違う場合を指しますから、
その場合の数え方は、
上下を決めて、左右を決めて、残りを決める、という方法で、
6Ｃ2×4Ｃ2×2!=１８０通り
となります。


底面が正方形の直方体の場合は、３種類の面のうち２種類が同じなので、１８０／２！＝９０通り
立方体の場合は、３種類の面がすべて同じなので、１８０／３！＝３０通り
という数え方もできます。

この回答への補足

６Ｃ５→６Ｃ２：間違えてました。
（２）は2つの底面が正方形の直方体
説明不足でした。すみません；

補足日時：2012/12/09 10:20

この回答へのお礼

そんな考え方もあるんですね！
わかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/09 10:22