世の中にグラフ用紙があります。学校の実験で例えばトランジスタの周波数特性を得るのに「方対数グラフ」を使っています。対数表示のマスに周波数を書き、縦には増幅度(利得)をとっていきます。この時、縦は20log(出力電圧/入力電圧)のように20logという計算を施して点をとっています。
さてここで質問なのですが
1.なぜ方対数のグラフ用紙を使うのですか。
2.20logという計算を何故しなければいけないのか。
3.方対数を使う利点はどういうものがあるのか。
4.「両対数グラフ用紙」というものがあるがこちらを使えば20logと言う計算は施さなくてもいいのか。
以上のうちで応えて頂けそうなものだけ教えて下さい。
どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

いろいろな現象でよくあるような関数形に対して,


片対数あるいは両対数方眼紙を使うとグラフが直線になるからです.
直線のグラフはデータがよく乗っているかどうかを見やすいでしょう.
以下,log はすべて常用対数です.

(i) 片対数が有益な場合
(1)  y = a exp(bx)
のタイプ.両辺の常用対数を取って
(2)  log y = log a + (log e)bx
したがって,縦軸を log y でグラフを描けば,1次関数ですから直線になる.
傾きからbがわかるし,縦軸の切片からaがわかる.

(ii) 片対数が有益な場合
(3)  y = c x^d
のタイプ.両辺の常用対数を取って
(4)  log y = log c + d log x
ですから,両軸を対数でグラフを描けば,直線になる.
傾きからdがわかるし,縦軸の切片からcがわかる.

その他,データの範囲と取り方によって便利な場合もあります.
例えば,周波数(Hz)を 1,2,3,5,10,20,30,50,100,200,300,500,1k,...,100k
というように変えて何かを測定したとします.
普通の軸の取り方をしますとグラフで周波数が1,2,3のあたりはほとんどゼロに見えて
よくわかりません.
そりゃ,フルスケールが 100kHz = 10万Hz ですから,
グラフにしたら1Hz なんてゼロと区別がつきません.
対数目盛なら,そこら辺がちゃんとわかります.
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この回答へのお礼

かなり分かりやすかったです
ありがとうございました

お礼日時:2001/05/26 23:13

すみません。

一般人ですが,皆さん「20logという計算」を当然のように回答されているのが気になりましたので一言言わせて下さい。

方対数グラフ用紙というのは参考 URL(電気回路演習のレポートで間違えやすい点)の「グラフの書き方の例」にあるグラフ用紙ですよね。

この場合はx軸が対数になっていますが,mtcomcation さんの場合はy軸が対数ですよね。

で,この場合,私の記憶ではx軸もy軸も数値をそのままプロットすれば良かったような気がするのですが。そして,直線になれば,その式を求めて,yを log(y) に置き換えて log を外すと,プロットしたxとyの関係式が得られるという物だった様な気が・・・。

こういうような処理が出来るように片側の軸の1,2,3,・・・が等間隔でなく,log(1), log(2), log(3),・・・に対応して目盛ってあるのが,片対数グラフ用紙だったと思うんですが。

つまり,20log という計算はする必要がないと思うんですが,どこか違ってますか?

参考URL:http://www.ice.dj.kit.ac.jp/~inaba/lecture/kairo …
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周波数特性を例に述べると、


横軸は周波数で対数目盛、縦軸は利得(ゲイン)で等間隔目盛ですよね。
ゲインを述べる時は何倍と言う表現より何dB(デシベル)と言う表現の方が理解するのに便利です。20dBのアンプとか48dBのフィルターとかと表現します。仮にこの2つの素子を直列に接続すると20-48=-28dBとなり、平坦部は+20dB、フィルター周波数の点でー28dBになる事が暗算で計算できます(足算、引算のレベルで計算できます。)。何倍と言う表現を使っていると100倍と10の2.4乗分の1の、、、。と複雑な計算になってしまいます。 また、80dBとか120dBとかとなると10の後ろに0が4つも6つも付いてしまいます。
よって、技術者はdBを使います。
慣れてくると、何倍と言われるより、何dBと言われた方がピンと来ます。
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20logについて。



増幅前の電力をP1、増幅後の電力をP2とすると、
増幅度はP2/P1。ただ自然界は指数的現象を取ることが
多いので、gain=log(P2/P1)と対数を取ります。
増幅度の単位はB(ベル)ですが、その10分の1のdB(デシベル)を
使うことが多いので、gain=10log(P2/P1)となります。

オームの法則より、P1=V1^2/R、P2=V2^2/R。これを
上記の式に当てはめると、
gain=10log(V2^2/V1^2)=20log(V2/V1)。
ここで20logというのが出てきます。
電力利得が10log、電圧利得が20logの理由はこれです。
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1.片対数(方ではない)のグラフは増幅器などの周波数特性に使用します。


2.電圧利得の場合は20logですが電力利得の場合は10logです。
3.片対数・両対数ともに、自然界の現象は対数の方が便利なのです。
4.計算しなくても良いが、グラフは見にくくなります。

わかりにくいかもしれませんが、分からないところは補足質問して下さい

片対数と両対数の使い分けですが、単位をそろえるために
2種類のグラフを使い分けます(かかれる線は同じになりますが)

ex.
Y(片) -20  -10   0  -10 -20(dB)
Y(両) 0.1  0.3   0  0.3 0.1(V)
X(対数) 1    10  100 1K  10K
(周波数)
これをグラフに書いてみると分かると思います。
(エクセルを持っていれば、すぐにかけます)
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電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


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>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
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つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

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>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
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y=k・a^xという関係があるとき(そういう関係が成り立つと予想される時)、これを普通のグラフに描くとあっというまにy軸が足りなくなってしまいます。そこでy軸の目盛りを次のようにとったグラフ用紙を使うのです。

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こうやってとった「目盛りに従って」測定値(X,Y)をプロットしていきます((X,logY)ではないですよ)
すると自動的に縦方向の「実寸」はlogYをとったことになるのです。
(そうなるように線の間隔がふってあるわけです)

ここでもしY=k・a^XならばlogY=X・loga+logkとなりlogyとxは一次関数すなわち直線的関係になっているはずです。従ってプロットした点を直線で結ぶことで測定値群全体から導かれるkおよびaの値をグラフからよみとることができるわけです。(kの値は切片に、aの値は傾きに反映されますから)

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Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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誰か教えてください。
現在、片対数グラフを使用して物の硬度の調整を行っています。
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なぜ片対数グラフがよいのでしょうか?あと両対数グラフ等違うものでは駄目なのでしょうか?
因みに片対数グラフと両対数の違いはどのような特徴の違いでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

片対数グラフを見てみると、縦軸の方の目盛りが変なことになっていませんか?
等間隔ではないでしょう。上に行くと詰まっていて、そうかと思うと一桁上がるとキャンセルされてまた同じ間隔に戻って、を繰り返しています。
(エクセルでプロットされているなら、目盛りを出してみてください。あるいは、文具店でグラフ用紙を実際に買ってくる方が分かりやすいかな)

対数グラフは、データが桁のレベルで変化する場合に便利なものです。
普通の等間隔に目盛りが刻んであるグラフに、そうしたデータをプロットすると、すぐにグラフが足りなくなって、”あー、もっと上長くしないと!”なんて間抜けなことになってしまいます。
また、そうしたプロットでは、測定データの間にどのような法則性が存在するのかを見て取ることが困難ですよね。

実際、世の中にはそうした形の法則が良くあります。
数学が苦手ということですが、対数というものはご存じですか?
logという関数がエクセルにもあります(lnというのもある。対数だけどちょっと違う。まぁここでは置いておきます)。
例えば、log_10(100)とすると、これは2ということになります。
対数ご存じならこれは良いですね。
片対数グラフがやっていることは、我々が測定した量が100だったとして、これを片対数グラフにプロットすると、自動的に2を返してくれるということです。ちょっと分かりにくいか。
えーと、我々が片対数グラフの100のところに点を打つのは、普通のグラフ用紙でlog_10(100)、すなわち2のところに点を打つのと同じことです。
普通のグラフ用紙で100のところにプロットするのと2の所にプロットするのではえらい違いですね。

私は硬度については知りませんが、片対数グラフでやるということは、桁の単位で変化する量なのでしょうね。
しかも、x軸の量に対してプロットしたときに、直線になるものではありませんか?
上述した法則性が云々というのはこれで、対数をとってプロットすると直線になることが良くあります。
数式で言うと、y = a X b^x
という指数関数になっているとき、対数をとれば
log_b(y) = log_b(a) + x
となりますから、これはただの比例関係として扱うことができます。
あとは最小二乗法など使えば、測定データから実際にどういう式にしたがっているのかを求めることができますね。

両対数グラフはx軸もy軸も対数になったものです。
当然、同じデータを片対数と両対数でプロットしたら全然別モノになってしまいます。

片対数グラフを見てみると、縦軸の方の目盛りが変なことになっていませんか?
等間隔ではないでしょう。上に行くと詰まっていて、そうかと思うと一桁上がるとキャンセルされてまた同じ間隔に戻って、を繰り返しています。
(エクセルでプロットされているなら、目盛りを出してみてください。あるいは、文具店でグラフ用紙を実際に買ってくる方が分かりやすいかな)

対数グラフは、データが桁のレベルで変化する場合に便利なものです。
普通の等間隔に目盛りが刻んであるグラフに、そうしたデータをプロット...続きを読む


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