n次式f(x)が(x-α)^lで割りきれる

n次式f(x)が(x-α)^l(lは自然数かつn以下)で割りきれるための条件を求めよ
ただしf(x) = f(α) + f'(α)(x-α) + (f''(α)/2!)(x-α)^2 + (f'''(α)/3!)(x-α)^3 + … + (f(n)(α)/n!)(x-α)^nを用いてよい

割ったときのあまりが0だから
f(α) + f'(α)(x-α) + (f''(α)/2!)(x-α)^2 + (f'''(α)/3!)(x-α)^3 + … + (f(l-1)(α)/(l-1)!)(x-α)^(l-1)=0
となるらしいのですが、
(f(l)(α)/(l)!)(x-α)^(l)は(x-α)^(l)で割れるからともかく、(f(l+1)(α)/(l+1)!)(x-α)^(l+1)、(f(l+2)(α)/(l+2)!)(x-α)^(l+2)、……、(f(n)(α)/(n)!)(x-n)^(n)は(x-α)^lで割れるか分からないからこれらも0でないといけないのではないですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/11 21:39

逆、逆。

L 乗より高次の項は、必ず L 乗で割り切れます。
例えば、c(x-α)の(L+1)乗を (x-α)のL乗 で割れば、
商は c(x-α) で、割り切れます。
L 乗より低次の項は、係数が 0 でないと
分母に (x-α) が残ってしまうため、
ここが 0 になることが求める条件となるのです。

この回答へのお礼

なるほど分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/02/11 21:59