三角関数 不定積分 1/sinx

∫(1/sinx)dx　をもとめよ。

1/sinx = (1/2){2cosx/(sinx)^2}

(1/2)∫{2cosx/(sinx)^2}dx = (1/2)log|(sinx)^2|+C
(sinx)^2 ≧0だから、

(1/2)log{(sinx)^2}+C

これであってますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/01 19:42

2行目の式でもう違っています。

誤：1/sinx = (1/2){2cosx/(sinx)^2}
正：1/sin(x)=sin(x)/(sin(x))^2
=sin(x)/{1-(cos(x))^2}
=sin(x)/{(1-cos(x))(1+cos(x))}

sin(x)が被積分関数の分母にあるので
sin(x)≠0(x≠nπ,nは任意の整数)→ cos(x)≠±1

cos(x)=t(-1<t<1)とおくと -sin(x)dx=dt → sin(x)dx=-dt

∫(1/sin(x))dx=∫1/((t-1)(1+t)) dt
=(1/2)∫{(1/(t-1))-(1/(t+1))}dt
=(1/2){log|t-1|-log|t+1|}＋C (Cは積分定数)
=(1/2){log(1-cos(x))-log(1+cos(x))}+C
=(1/2)log{(1-cos(x))/(1+cos(x))}+C
これでもいいけど
半角公式を用いると
=(1/2)log{sin^2(x/2)/cos^2(x/2)}+C
=log|tan(x/2)|+C
と変形もできます。

この回答への補足

回答じゃなく、お礼でした。

補足日時：2013/03/06 14:09

この回答へのお礼

すいません、回答が遅くなりました。
{(sinx)^2}'=2sinx*cosx=sin2xでした。
微積分をやっていると、sinとcos、cosとtanは仲が良いように感じます。

お礼日時：2013/03/06 14:08

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/01 22:05

最初から t = tan(x/2) で置換して始める手も有名。

s, c の二変数分数式 f(s,c) に対して、
∫ f(sin(x),cos(x)) dx を t = tan(x/2) で置換すると
t の分数式の積分になることは、よく知られているから。
分数式の積分が、部分分数分解を通じて、
分数式と log の組み合わせで表示できることも、よく知られている。

今回の場合、
1/sin(x) = (1+t^2)/(2t),　dt/dx = (1+t^2)/2 より
∫ {1/sin(x)} dx = ∫ (1/t) dt = log(±t) = log(±tan(x/2)) + (定数).
右辺の ± は、積分定数の一部なので、初期条件に応じて適切なほうを選ぶ。

　

この回答へのお礼

すいません、お礼が遅くなりました。
ありがとうございます

お礼日時：2013/03/06 14:09

No.1 回答者： masics 回答日時： 2013/03/01 18:07

sin^2 xの微分を間違えてしまっています．3つめの式をもう一度考えてみてください．

以下を参考にしてください．
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …

この回答へのお礼

回答有り難うございます。
確かに間違ってました。
{(sinx)^2}'=2sinx*cosx=sin2x

お礼日時：2013/03/01 21:45