三次元空間中にある重ならない二点A(x1,y1,z1)とB(x2.y2,z2)があって、Aを通り、方向ベクトルV1=(a1,b1,c1)である直線Y1とBを通り、方向ベクトルV2=(a2,b2,c2)である直線Y2が,とある一点C(x,y,z)で交わる。A,B,V1,V2が分かっているとき、点Cを求めなさい。という問題についてですが、
以下のような考え方(説明は下手ですが)で合っているのでしょうか?
ベクトル方程式より
xについて
x1+ta1=x2+ua2
yについて
y1+tb1=y2+ub2
zについて
z1+tc1=z2+uc2
という考え方です。
間違っていれば指摘して頂ければ幸いです。
また、ここから交点Cについてどのように求めればよいのでしょうか?
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
x1+ta1=x2+ua2
y1+tb1=y2+ub2
z1+tc1=z2+uc2
から、どの二本を選べば u,v が求まるかは、
個々の a1,b1,c1,a2,b2,c2,x1,y1,z1,x2,y2,z2 に依るから、
一概には言えない。やってみるしかないが…
最初に選んでみた二本が他方の定数倍どうしでなければ、
その二本で求まるし、
定数倍どうしでならば、その一方と第三の式とで u,v が出る。
ともかく、与えられた二直線が一点で交わると予め判っていれば、
解の存在についての場合分けを気にせず、安心して解くことができる。
No.3
- 回答日時:
#1です。
A#1に連立方程式とそれを解いた結果について検証すると
x3=x1+ta1=x2+ua2 ...(1)
y3=y1+tb1=y2+ub2 ...(2)
z3=z1+tc1=z2+uc2 ...(3)
つまり
C(x3,y2,z3)=A(x1,y1,z1)+V1(ta1,tb1,tc1)
=(x1+ta1,y1+tb1,z1+tc1) ...(4)
この式の12個の定数{x1,y1,z1,a1,b1,c1,x2,y2,z2,a2,b2,c2}
の内、11個は特立な定数(自由に決められる定数、他の1個の定数)は
A#1のx1の式
x1=(a1(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)+a2(b1(z1-z2)+c1(y2
-y1))+(b1c2-b2c1)x2)/(b1c2-b2c1) ...(5)
が2本の直線Y1,Y2が交わるための制約条件の式になります。
つまり、
A(x1,y1,z1),V1(a1,b1,c1),B(x2,y2,z2),V2(a2,b2,c2)
の要素(成分){x1,y1,z1,a1,b1,c1,x2,y2,z2,a2,b2,c2}の12個全てを独立に与えると、直線Y1,Y2が交わる保証がなくなります。例えば、x1を除いた11個は独立に与え、x1を(5)式で与えれば直線Y1とY2が点C(x3,y3,z3)で交わるようになります。
具体例として
A(x1,y1,z1)=(x1,2,-2),
V1(a1,b1,c1)=(1,-2,3)
B(x2,y2,z2)=(3,-2,3),
V2(a2,b2,c2)=(-2,3,-2)
x1=(5式より)=4/5
とすれば
A#1で求めた式から
t=7/5
u=2/5
C(x3,y3,z3)=(11/5,-4/5,11/5)
が得られます。
これをプロットすると添付図のようになります。
直線Y1:青線、直線Y2:黒線、C交点:赤点
で示しました。
No.2
- 回答日時:
その方程式を解いて、t,u を求めれば、
C の座標が判る。それでよいのですが…
未知数が 2 個なのに、式が 3 本ありますね?
Y1 と Y2 は、いつでも交わる訳ではないし、
一致してしまう場合もあります。
丁度一点 C で交わるという条件は、
A,B,V1,V2 に対する制約となり、その結果、
貴方の方程式は、実質的には二連立となります。
つまり、連立方程式から上手く 2 式を選んで、
二元二連立方程式として t,u を求めれば、
残りの 1 式も成立するような A,B,V1,V2 が
与えられていると書かれてあるのです。
安心して、その方程式を解きましょう。
No.1
- 回答日時:
> x1+ta1=x2+ua2
> y1+tb1=y2+ub2
> z1+tc1=z2+uc2
後、交点Cの座標を(x3,y3,z3)とすると
x3=x1+ta1=x2+ua2
y3=y1+tb1=y2+ub2
z3=z1+tc1=z2+uc2
としてやると
方程式が6式できるので6個までの未知数に対して
連立方程式が解ける。
t,u,x3,y3,z3とx1について解けば
t=-(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)/(b1*c2-b2*c1)
u=-(b1*(z2-z1)-c1*y2+c1*y1)/(b1*c2-b2*c1)
x3=(a2*(b1*(z1-z2)+c1*y2-c1*y1)+(b1*c2-b2*c1)*x2)/(b1*c2-b2*c1)
y3=-(b1*(b2*(z2-z1)-c2*y2)+b2*c1*y1)/(b1*c2-b2*c1)
z3=-(b2*c1*z2-b1*c2*z1-c1*c2*y2+c1*c2*y1)/(b1*c2-b2*c1)
x1=(a1*(b2*(z2-z1)-c2*y2+c2*y1)+a2*(b1*(z1-z2)+c1*y2-c1*y1)+(b1*c2-b2*c1)*x2)/(b1*c2-b2*c1)
となります。
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