絶対値を2個含む不等式

|x-2|+|x-5|≦5
の問題で、

2≦ｘ≦5のとき
(x-2)-(x-5)≦5
x-2-x+5≦5
3≦5となるので、2≦x<5であるすべてのxについて成り立つ。
よって2≦x<5

と、解答にありました。
なぜ、
3≦5となるので、2≦x<5であるすべてのxについて成り立つのですか？
よくわかりません。
詳しく教えてくれませんか？泣

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/12 15:58

2≦ｘ≦5のとき

xの如何にかかわらず
　左辺=(x-2)-(x-5)=3
　右辺=5
なので
　左辺≦右辺
が常に成り立っています。
（≦は、＜または＝のどちらかが成り立てば成り立つという意味）

>2≦x<5であるすべてのxについて成り立つ。
>よって2≦x<5

この解答は間違いです。
正解は「2≦x≦5」です。
なぜならx=5のときを外す意味はないからです。
x=5の時
左辺=|5-2|+|5-5|=3
右辺=5
なので
左辺≦右辺
すなわち
3≦5
が成り立っています。
繰り返しますが
≦は、＜または＝のどちらかが成り立てば成り立つという意味
で使います。「3＜5」が成り立つので　「3≦5」　も成り立ちます。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/05/12 15:39

なぜ、

3≦5となるので、2≦x<5であるすべてのxについて成り立つのですか？
＞2≦x<5のときは、問題の不等式からxが消えて3≦5となるので、
xの値に関係なく問題の不等式が成り立つという意味です。
　なお、2≦x<5がこの問題の正解ではないことはお分かりですね？
例えばx=1でもx=6でも|x-2|+|x-5|≦5は成り立ちます。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/05/12 15:22

2 ≦ x < 5のとき、

| x - 2 | = x - 2
| x - 5 | = -x + 5
であるから、もとの不等式は
x - 2 - x + 5 ≦ 5
より、3 ≦ 5となる。
3 ≦ 5は、「xの値に関係なく、必ず成立する」。ここが肝心です。
よって、2 ≦ x < 5のとき、
| x - 2 | + | x - 5 | ≦ 5は、xの値に関係なく、必ず成立する。