連立微分方程式の解き方について

dx/dt=-y+z, dy/dt=-x+y, dz/dt=x+zの一般解の求め方を教えてください。

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/02 09:19

普通に、

ベクトル (x,y,z) についての微分方程式だと
考えたらいいんじゃないの？

No.8 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/02 08:06

変数変換による

dξ/dt=ξ
dη/dt=-η
dζ/dt=2

この解法。連立一次微分方程式を知り尽くした上で・・・。
なかなか良い回答です。スマートな解法です。

しかし
恥ずかしながら、私にはいまだにもってわかりません。
どこから、どういうことでこの式が出てきたのか。

No.7 回答者： berokanda 回答日時： 2013/07/01 21:46

＞#4

まあね。

両方を頭のなかで自由に変換できるというのはただ問題を
解くということを離れて理解を深めるには大切。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/01 19:46

それは、恥ずかしい。

ちゃんと解っていれば、「おまけに線形なので」ではなく、
方程式が線形だから、連立一次微分方程式と高階線形微分方程式が同値と解釈できる
のだという構造が見えているはず。

それが理解できていれば、連立一次微分方程式を高階線形微分方程式に翻訳したり
高階線形微分方程式を連立一次微分方程式に翻訳したりする手間が、全く無意味な
一手間であることも解っているはず。

No.5 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/01 19:08

私なんかは、恥ずかしながら、２階微分方程式でゴネゴネ

解くほうだな。

連立一次微分方程式と高階線形微分方程式は同値なわけで
おまけに線形なので特性方程式も同じになるのでは。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/01 14:53

連立一次微分方程式の特性方程式と

高階線形微分方程式の特性方程式が
同じものだ…ということを示したという点では、
線形代数のレクチャーとして意味があるのでは？
質問の方程式を解く上では、
無意味な脱線だけれども。

No.3 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/30 22:47

わざわざ複雑にして解こうとする人がいるようですね。

#1の方針は簡単で、与えられた連立方程式に適当な
座標変換を施してあげると

dξ/dt=ξ
dη/dt=-η
dζ/dt=2ζ

という連立方程式を解くことと同等になります。
これらの解はすぐに求まって
ξ=定数×e^t, η=定数×e^(-t), ζ=定数×e^(2t)
です。座標変換をもとにもどしてやれば結局x,y,zは
これらの一次結合になります。

この回答へのお礼

たくさんの回答ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時：2013/07/05 15:56

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/30 22:16

dx/dt=-y+z ...(1),

dy/dt=-x+y ...(2),
dz/dt=x+z ...(3)

(1)をtで微分
d^2 x/dt^2=-dy/dt+dz/dt
(2),(3)を代入
=x-y+x+z=2x-y+z
(1)より
=2x+dx/dt
移項して
d^2 x/dt^2-dx/dt-2x=0 ...(4)

xの斉次線形２階微分方程式が得られましたね？
特性方程式
s^2-s-2=(s+1)(s-2)=0 ∴s=-1,2
xの一般解
x=C1*exp(-t)+C2*exp(2t) ...(5)
(C1,C2は任意定数)

(5)を(2)に代入
dy/dt-y=-C1*exp(-t)-C2*exp(2t) ...(6)
yの一般解は
y=C3*exp(t)+(C1/2)*exp(-t)-C2*exp(2t) ...(7)

(5)を(3)に代入
dz/dt-z=C1*exp(-t)+C2*exp(2t) ...(8)
zの一般解は
z=C4*exp(t)-(C1/2)*exp(-t)+C2*exp(2t) ...(8)

以上から連立微分方程式の一般解は
　xは(5),yは(7),zは(8)で与えられる。
但し,C1,C2,C3,C4は任意定数。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/30 21:25

特性方程式が(λ-1)(λ+1)(λ-2)=0なので

x,y,zはいずれもe^t,e^(-t),e^(2t)の一次結合になります。

詳しくは線形代数や微分方程式の本に載っています。