e^xの近似

授業でe^xをx→0に近似したら、1+xになるとして良いと聞いたのですが、(e^2x+1)/(e^2x-1)と(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)はイコールなのに近似するとイコールにならなくなってしまいます。わかる方教えてくれませんか？

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/09 00:44

近似だから e^x とは違う。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/09 03:31

(e^2x+1)/(e^2x-1)≒(2+2x)/(2x)=(1+x)/x

　=1+(1/x)≒1/x（∵x→0のとき 1<<1/|x|）
(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)=2/(2x)=1/x
となります。

2項だけのxの一次式の近似であるに過ぎず,
近似式がまったく一致する保証はありませんが、漸近値は殆ど同じになるのではないでしょうか？

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/09 20:06

はて？

e^x ≒ 1+x を代入することで近似すると、

左辺 = {e^(2x)+1}/{e^(2x)-1}
= {(e^x)^2+1}/{(e^x)^2-1}
≒ {(1+x)^2+1}/{(1+x)^2-1}
= {x^2+2x+2}/{x^2+2x}
= {x^2+2x+2}/{x^2+2x},

右辺 = {e^x+e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}
= {(e^x)+1/(e^x)}/{(e^x)-1/(e^x)}
≒ {(1+x)+1/(1+x)}/{(1+x)-1/(1+x)}
= {(1+x)^2+1}/{(1+x)^2-1}
= {x^2+2x+2}/{x^2+2x}
= {x^2+2x+2}/{x^2+2x}.

となって、両辺の近似値は一致していますが…


ひょっとして、e^x ≒ 1+x を使うのに、
左辺は e^(2x) ≒ 1+2x,
右辺は e^x ≒ 1+x　で置き換えたりしませんでしたか？

e^(2x) を e^x ≒ 1+x で近似すると
e^(2x) = (e^x)^2 ≒ (1+x)^2 = 1+2x+x^2 ≠ 1+2x
ですから、
e^x ≒ 1+x という近似と
e^(2x) ≒ 1+2x という近似は、異なります。

左辺と右辺に、異なる近似を施せば、
結果が異なるものになるのは、当然です。