2変数関数の最大値・最小値

x^2+y^2=1の制約条件のもとで、f（ｘ,y）＝9ｘ＾2+8ｘｙ+3ｙ＾2の最大値・最小値をとる点Pを求めてください。お願いします。微分を使わずに勘で最大値が（√2/2,√2/2）,（－√2/2,-√2/2）、最小値が（√2/2,－√2/2）,（－√2/2,√2/2）点Pとなると思ったのですが、どうでしょうか？導出過程と答えを詳しく教えてください。ちなみに、私は大学生ですが、数学初心者です。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/11 22:05

じゃあ、私は、

三角関数を知っている場合の解法を書いてみるかな。
こっちは、高校生向きで易しい。

問題の制約条件を満たす x,y は、実パラメータ t を使って
x = cos t,
y = sin t と表示できる。これを代入すると、
f = 9(cos t)2乗 + 8(cos t)(sin t) + 3(sin t)2乗
= 9(1+cos(2t))/2 + 8sin(2t)/2 + 3(1-cos(2t))/2
= 6 + 3cos(2t) + 4sin(2t)
= 6 + 5sin(2t+A)
ただし、sin A = 3/5, cos A = 4/5.

f を最大にする t は、sin(2t+A) = 1 となる t、
f を最小にする t は、sin(2t+A) = -1 となる t だと判る。

2t+A = (π/2)+2nπ のときが最大、
2t+A = (-π/2)+2nπ のときが最小。
これを x,y の値に翻訳してみると…
貴方の解は、違うね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/11 18:54

ラグランジュの未定乗数法でやります！

h(x, y λ)=9x^2+8xy+3y^2 + λ(x^2+y^2-1)
∂h/∂x=(18+2λ)x + 8y = 0
∂h/∂y=8x + (6+2λ)y = 0

x=y=0 は条件から解ではないので (18+2λ)(6+2λ)-8・8=0 だから λ=-1, -11

λ=-1 の時は y = -2x だから x = ±√(1/5), y = (-1)・±2√(1/5)
f(x, y)=1

λ=-11の時は x = 2y だから x = ±2√(1/5), y = (-1)・±√(1/5)
f(x, y)=11

1が極小値かつ最小値、11が最大値かつ極大値でしょう。

計算が違っていたらすいません。


補足: ラグランジュの未定乗数法=条件付停留値問題を条件なし停留値問題に変換する
数学的な手法です。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/11 17:37

「数学初心者」を自認する人間がこのようなことをしなきゃならない理由が理解できない....

さておき, 「三角関数」って知ってますか?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/11 15:55

制約条件を使って 1変数関数の最大・最小化問題にする.

この回答への補足

ｘだけの一変数関数の最大・最小化問題にすると、9ｘ＾2+8ｘ±（√1-ｘ＾2）（√はここまで）+3（1-ｘ＾2）になりますが、これからどう整理すれば良いでしょうか？

補足日時：2013/07/11 16:13