円柱と円錐の体積の比較における実験

小学校の教育実習で算数において、「錐体」の単元を授業することになりました。


同じ底面で同じ高さの円柱の体積と円錐の体積の比較をするために、砂を使用して実験する方法を教科書に準じて行っていく予定です。そして、この条件下にある場合の円柱は、円錐の体積の３倍の大きさということを結論づけるつもりです。

しかし、円柱の透明の立体図形（底なし）はあるのですが、円錐の立体図がないため、展開図を作成しようと考えています。

展開図を作る場合、円柱の底面の円の半径と高さのみしか分からなくても、円柱の底面積と高さが同じで、体積が円柱の３分の１の円錐の展開図を作ることは可能でしょうか？出来れば展開図の作成方法を教えてもらえると助かります。よろしくお願いします。

No.5 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/09/07 18:59

　教える立場なのですから、#3の方がおっしゃるような工夫が必要です。

指導される教諭と相談されるのがよろしいかと思います。なぜなら、単に3倍になることを先生が教えるだけなんでしょうか。それとも、生徒さん達と模型を作ってみるのですか。
　教科書には、円すいの体積についてどのように解説されていますか。指導要領での扱いはどうなってますか。3倍になることばかりに、目がいってませんか。

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2013/09/07 18:09

実験のために作る円錐は「直円錐」だと仮定しましょう。

円錐のななめ部分の展開図は，扇形になります。
扇形の半径（円錐の母線の長さに当たります）は，
円柱と円錐の，半径と高さがわかっていますから，ピタゴラスの定理で計算できます。
（No.2の回答の通りです）
　
扇形の円弧部分の長さが，円柱の底面の円周の長さと等しくなるように，
（扇形の）角度を計算して，（全円から切り取って）作ります。
【ここまでで，底なしの円錐の展開図ができました】

円錐形の升？を作る材料は何でしょうか，のりしろ相当部分も考慮する必要があります。
貼り付け方（ホチキスなどでとめるのでしょうか？）も考えておいてください。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/09/07 17:40

こんにちわ。

うーん、計算できっちり作るよりも、
実際に「工作」した方がいいのではないですか？

というのは、寸法どおりだと継ぎ目から砂がこぼれたりすることが予想されます。
大きさがどのくらいのものを想定されているのわかりませんが、

円筒に合うように紙を丸めて円錐を作り、余計なところ（底面部分）を切り取る。
といった具合です。
おそらく子供だったら、そうやって作ると思いますよ。

小学校の先生になられるのであれば、
計算どおり・マニュアルどおりだけにはならないでほしいと願います。

No.2 回答者： watecolor1969 回答日時： 2013/09/07 17:20

円柱の底面の半径（=円錐の底面の半径）と

円柱の高さ（=塩水の高さ）が決まれば
円錐の母線はピュタゴラスの定理で決まります。

補追）砂よりは水の方が説得力があるような気がします。

No.1 回答者： kaitaro1998 回答日時： 2013/09/07 17:18

円柱の底面の半径と高さを教えてください