三角形ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5とする
cosAは( )である
sinAは( )である
三角形の面積は、( )である。
これより、三角形の内接円の半径Rとすると、R=( )である。
内接円と辺ABとの接点DとするとAD=( )である。
同様に内接円と辺ACとの交点をEとする。
△ADEと面積は、△ABCの面積の( )倍である。
内接円の中心をOとする。直線COと辺ABとの交点をP、直線BOと辺ACとの交点をQとすると、
△APQの面積は、△ABCの面積の( )倍である。
この問題の穴に入る答えをわかりやすく教えて下さい。
できれば、計算の過程のお願いします
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
No.1です。
ANo.1の補足の質問の回答
>ひとつ聞きたいことがあります。
>AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
>これは、なにかの公式ですか?
公式でもなんでもありません。
三角関数のtan(タンジェント)の定義の式を使ってるだけです。
添付図を見てください。
AD(AB)は内接円Oの接線ですから半径ODと接線ADは直角になります。
つまり、△OADは直角三角形です。
また△OAD≡△OAEなので ∠OAD=∠OAE=(∠A)/2
tanの定義から
tan(A/2)=tan(∠OAD) ←図の赤丸の角(AOは∠Aの2等分線)
=OD/AD ←ODは内接円の半径R
=R/AD
これから
AD*tan(A/2)=R
お分かりになりましたか?
No.1
- 回答日時:
>三角形ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5とする
余弦定理より
cosA=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=1/8
>cosAは( 1/8 )である
sinA=√(1-(1/8)^2)=3√7/8
>sinAは( 3√7/8 )である
三角形ABCの面積S=(1/2)AB*CA*sinA=(1/2)4*5*(3√7/8)=15√7/4
>三角形ABCの面積は、( 15√7/4 )である。
S=R(AB+BC+CA)/2=R(4+6+5)/2=(15/2)R
R=(2/15)S=(2/15)(15√7/4)=(√7)/2
>これより、三角形の内接円の半径Rとすると、R=( (√7)/2 )である。
AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
(tan(A/2))^2=(sin(A/2))^2/(cos(A/2))^2=(1-cosA)/(1+cosA)
=(1-(1/8))/(1+(1/8))=7/9
0<A/2<90°より tan(A/2)>0
tan(A/2)=√7/3
AD*(√7/3)=(√7)/2 ∴AD=3/2
>内接円と辺ABとの接点DとするとAD=( 3/2 )である。
>同様に内接円と辺ACとの交点をEとする。
△ACO≡△ADO(Oは内接円の中心)より AE=AD=3/2
△ADEの面積=(1/2)AD*AE*sinA=(1/2)*(3/2)*(3/2)*(3√7/8)=27(√7)/64
△ABC=15√7/4 より △ADE/△ABC=(27/64)/(15/4)=9/80
>△ADEの面積は、△ABCの面積の( 9/80 )倍である。
>内接円の中心をOとする。直線COと辺ABとの交点をP、直線BOと辺ACとの交点をQとすると、
角の2等分線定理より
AP:PB=CA:BC=5:6 ∴AP:AB=5:(5+6)=5:11
AQ:QC=AB:BC=4:6=2:3 ∴AQ:AC=2:(2+3)=2:5
△APQの面積=△ABQの面積*(AP/AB)=(5/11)△ABQの面積
=(5/11)△ABCの面積*(AQ/AC)=(5/11)(2/5)△ABCの面積
=(2/11)△ABCの面積
>△APQの面積は、△ABCの面積の( 2/11 )倍である。
#計算が間違っているかもしれないので、自身で計算して確認してみてください。
ざかりやすく丁寧に教えて頂いてありがとうございます。
ひとつ聞きたいことがあります。
AD*tan(A/2)=R=(√7)/2
これは、なにかの公式ですか?
わかりやすく説明をお願いします。
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