No.5ベストアンサー
- 回答日時:
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0
が1個の整数解を持つ、ということは、その整数解は
1または-1である。
i)整数解が1のとき
f(x)は(x - 1)で割り切れる。
f(x) = (x - 1)(x^2 + (a + 1)x + a + b + 1)
剰余定理から、f(1) = a + b + 2 = 0
a + b + 1 = -1
x^2 + (a + 1)x + a + b + 1 = 0は2個の虚数解を持つから、
判別式 < 0
(a + 1)^2 + 4 < 0
これを満たす整数aは存在しない。
ii)整数解が-1のとき
f(x)は(x + 1)で割り切れる。
f(x) = (x + 1)(x^2 + (a - 1)x + b - a + 1)
剰余定理から、f(-1) = a - b = 0
x^2 + (a - 1)x + b - a + 1 = 0は2個の虚数解を持つから、
判別式 < 0
(a - 1)^2 - 4 < 0 …… (1)
左辺 = 0とおいて得る2次方程式を解く。
(a - 1)^2 = 4
a - 1 = ±2
a = 3, -1
よって、(1)の解は、-1 < a < 3
これを満たす整数aは0, 1, 2
a - b = 0より、b = 0, 1, 2
∴整数(a, b)の組は、(0, 0), (1, 1), (2, 2)の3組
aが最大となるのは、(2, 2)
No.3
- 回答日時:
定数項が1であるならば、必然的に、
1つの整数解は
+1
または
-1
に決まります。
与式が
(x - 1)
または
(x + 1)
で割り切れることと判別式 < 0から、
求まるのではないかと思います。
って、その手順を確認済みであるならば、
どこで手詰まりになっているのでしょうか?
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