ベクトル（高校数学）

３点Ａ（２，１，３）Ｂ（－１，２，４）Ｃ（５，２，１）を通る平面 αがある。
αと直線Ｌ；（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（２、－３，０）＋ｔ（１，２，１）との交点を求めよ。

（本の解説）
添付画像の過程を経て、u,tを消去するため、(2)の両辺に（－３，１，１）×（３，１，２）＝（－３、－３、－６）∥（１，１，２）との内積をとると、とやって、ｔ＝２を求め、これをＬの式に代入しているのですが、ここ３カ月数３ばかりやっていたため忘れているのか、この解答の流れがイマイチつかめません。各所で何をしているのか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/17 21:17

＞画像の式(2,-3,0)+t(1,2,1)=(2,1,3)+u(-3,1,1)+v(3,1,-2)の

右辺の(2,1,3)はベクトルA(以下↑A)であり、(-3,1,1)は↑ABであり
(3,1,-2)は↑ACだから、右辺を書き直せば↑A+u↑AB+v↑ACとなり、
これは平面α上の点のベクトルを表しています。
次は左辺の↑(1,2,1)が平面αと平行ではない(↑ABと↑ACで表す
ことは出来ない)ことを確認するために、3ベクトルのスカラー三重積
を計算したものです。もし↑(1,2,1)が平面αと平行であれば、
Lとαの交点は存在しないことになります((2,-3,0)はα上ではない)。
u,tを消去するため、・・・
＞↑(-3,1,1)×↑(3,1,-2)=↑(-2-1,3-6,-3-3)=↑(-3,-3,-6)は
↑ABと↑ACのベクトル積だからαに垂直なベクトルであり、これと
(2,-3,0)+t(1,2,1)=(2,1,3)+u(-3,1,1)+v(3,1,-2)の両辺の内積を
計算すれば、右辺のu(-3,1,1)とv(3,1,-2)は共にα上のベクトル
だから、それらと↑(-3,-3,-6)との内積は共に0になり、u、vが
消去されます。
実際に計算してみると、内積を・で表して
左辺は↑(-3,-3,-6)・↑(2,-3,0)+↑(-3,-3,-6)・↑t(1,2,1)
=-6+9-3t-6t-6t=3-15t
右辺は↑(-3,-3,-6)・↑(2,1,3)+↑(-3,-3,-6)・u↑(-3,1,1)
+↑(-3,-3,-6)・v↑(3,1,-2)
=-6-3-18+9u-3u-6u-9v-3v+12v=-27
よって3-15t=-27からt=2が得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
納得しました。

お礼日時：2014/02/17 23:27

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/02/17 11:52

>３点Ａ（２，１，３）Ｂ（－１，２，４）Ｃ（５，２，１）を通る平面 αがある。

>αと直線Ｌ；（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（２、－３，０）＋ｔ（１，２，１）との交点を求めよ。

一行目の左辺は、問題にある　「直線Ｌ；（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（２、－３，０）＋ｔ（１，２，１）」　そのまんま。
一行目の右辺は、平面 α上の点を示す一次結合算式。

直線 L と平面 αとの交点を求めるのだから、両者を等置している。
行列表記の形にして (t ; u ; v) を解く、のがふつうなのかナ？

その下は、行列表記したときの係数行列が正則であることを確かめている模様。
正攻法のご手本でアル。

　　

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/17 10:31

>＝（－３、－３、－６）∥（１，１，２）

の式の（－３、－３、－６）と（１，１，２）をどこから出したのか、また記号「||」は何か
説明願います。

>ｔ＝２を求め、これをＬの式に代入している
これにより交点の座標が求まります。→ (4,1,2)

>(2)
これがどの式か分かりません。

画像の一番下の問題文がよく見えません。

[別解]
αの式を書き下して
　x=2-3u+3v,　y=1+u+v,　z=3+u-2v
u,vを消去して
　x+y+2z=9　...(※)
Lの式を書き下して
　x=2+t,　y=-3+2t,　z=t　...(★)
(★)を(※)に代入して　tを求めると
　t=2
(★)に代入すればαとLの交点の座標
　(x,y,z)=(4,1,2)
が得られます。