フェルミ面

量子力学と統計物理を勉強するようになってフェルミ面という言葉をよく聞くようになりましたが、フェルミ面がどんなものなのかいまいちイメージできません。

わかりやすい考え方はないのでしょうか？

No.2 回答者： dawn_ 回答日時： 2014/03/07 21:27

一言で言うと、「波数（運動量）空間での、そこまで電子が詰まっている、という面」

ということになりますが、もう少し噛み砕いて説明を試みます。

空のバケツに水を入れると、平らな水面ができます。この「水面」というのは、言い
換えると「実空間（x, y, z 座標)での、バケツ内で最大の位置エネルギーも持つ水分
子達の面」なわけです。実はフェルミ面というのもある意味で似たようなものです。

基本的に全ての物質は原子から成っていまして、原子は原子核と電子を持ちます。と
いうことは物質の中にはものすごく多くの電子が居るわけなのですが、このうちのい
くらかはあまり原子核に強く束縛されないため、運動エネルギーを持って動き回るこ
とができます（特に金属の場合）。
高校物理で習うように、運動エネルギーは速度あるいは運動量の２乗に比例します。
では、物質中の電子のエネルギー分布（どのエネルギーの電子がどの位の数居るか）
はどうなっているのでしょうか？　詳しい所は統計力学などで学ぶのですが、すごく
大雑把に言うと、バケツの中の水と同じように「低いエネルギーから順に席が埋まっ
ていく」のです。低いエネルギー＝小さい運動量、ということで、電子の運動量の
(x, y, z)成分で３次元の座標表示をすると、ちょうどある半径を持つ球の内側にだけ
電子が居ることになります。この球面が「フェルミ面」です。

このフェルミ面、固体の電子の状態を表す特徴的なものなので、物性物理ではとても
重要になります。一番単純な場合は上記のように球面ですが、例えば「x方向には電子
の運動に対して抵抗がある」みたいな状況ですと、同じ速度でもx方向とy, z方向に動
く電子のエネルギーは変わってきます。すると、フェルミ面も球面ではなくなるわけ
です。

直感的な理解を目指してみましたが、こんな感じで説明になっているでしょうか？

# 注意事項
・全体に、ものすごく大雑把に議論を省略しています。
・フェルミ面の話は固体中の電子には限らないのですが、簡単のために例を限定しました。
・フェルミ統計の話はばっさりと省きました。低いエネルギーから『席が埋まる』と考えて
　良いのかどうか、という所に関わるのですが、詳しくは量子力学の教科書を読んでください。

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2014/03/06 15:09

離散的なエネルギー準位のある系ならどんな系でも良いのですが、簡単のためにポテンシャルによって粒子が束縛されている系を考えます。

束縛されている粒子が電子等のフェルミ粒子の場合、パウリの排他律によって一つの状態には一つの粒子しか入れません。粒子がスピンを持つ場合、エネルギーとスピンの決まった状態が一つの状態で、そこに一つの粒子しか入れないということです。なので電子の場合には、一つのエネルギー準位にはスピンの上向きと下向きで２つの電子しか入れません。そこでこのポテンシャル系に複数の電子があり、電子同士の相互作用は無視出来たとすると、系の基底状態ではエネルギー準位の下の方から電子が２つずつ入っていくことになります。そうすると、下の方の準位は電子が占有しており、ある準位から上側には電子が居ないという、ある境界が存在することになります。この境界に対応するエネルギーのことをフェルミ・エネルギーと呼んでいます。フェルミ・エネルギーから決まる運動量の大きさをフェルミ運動量と言います。この系に束縛されている電子は、３次元の運動量空間の中で原点を中心としてフェルミ運動量を半径とする球の中に居ることになります。この球の表面を（運動量空間の）フェルミ面と言います。これに対応する座標空間でのフェルミ面を考えることもできます。中心力によって束縛を受けている系では、座標空間でのフェルミ面も球面となります。平らな表面をもつ金属等を考える場合には、座標空間のフェルミ面もやはり平面として考えることが出来ます。少しはイメージが湧いたでしょうか？