
趣味数学なので特に至急というわけでもございませんが、
私はすでにギブアップなのでどなたか助け舟お願いします。
聞けるような人もいないのです。
自分で作って解けなかった問題です。
Q.
1000…001のうち素数であるものを求めよ.
10^n+1として、ほとんどは因数分解できました。
下の方に書いておきます。
残るは、nが2のべき乗のときだけなのです。
10^(2^m)+1だけは分解の手段が思いつきません。
もしかすると素数となる条件などないのかもしれません。
皆様のお知恵拝借、よろしくお願いします。
Prf) (未完)
10^n + 1 … (*) (n=1,2,…)
case1) nが奇数の場合
x^n+1 = (x+1)(x^(n-1)-x^(n-2)+…+1)
上のように因数分解できる
上にx=10を代入すれば、この場合(*)が11を因数に持つことがわかる
∴ n=1のとき(*)は素数、nが3以上の奇数の時(*)は素数でない
case2) nが偶数、かつ奇数を因数に持つ場合(n=even∧n≠2^m)
このとき、奇数oと偶数eを用いて、n=eoと表せる
よって
x^n = x^eo = (x^e+1)(x^e(o-1)-x^e(o-2)+…+1)
上のように因数分解できる。ただしe≧2、o≧3、n≧6
上にx=10を代入すれば、この場合(*)が10^e+1を因数に持つことが分かる
∴n=even∧n≠2^mのとき、(*)は素数でない
case3) n=2^m の場合(m=0,1,2,…)
10^1 + 1 = 11 … prime (case1)
10^2 + 1 = 101 … prime
10^4 + 1 = 10001 = 73*137 … notprime
10^8 + 1 = 100000001 … 17で割れる … notprime
:
:
?
(primeが11と101のみなら個人的にうれしい)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
いわゆる「一般化フェルマー素数」ってやつだね.
素数かどうかの簡単 (?) な方法はあると思うけど, 一般論はないはず. ちなみに 2^20 までは素数じゃないらしいよ.
参考URL:http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/s …
フェルマー数は知っていましたが、なるほどこれもほぼ同じですね……視野が狭かったです。
フェルマー数同様に因数は必ずk・2^(n+1)+1の形をしてることがわかりますね。しかし進展なし。
10が素数でないので何かしらの分解は出来そうな気がするのですが……
No.2
- 回答日時:
あ, もうちょっと新しいのがあった. 10^(2^23)+1 までは素数じゃないことが確定, そこから先は「わかっているものもある」という状況のようです.
結局のところ, フェルマー素数と同じで「よくわかっていない」んじゃないかな.
参考URL:http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller/GFN10.html
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