三角関数

0<x<π/2のとき、
sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
を満たすxの値は何πである。
この問題がわかりません。1日自力でやっていましたが、全然先に進まないので質問することにしました。和積の公式を使うことは分かったのですが、その先がわかりません。明日までにしないといけないのでよろしくお願いします。

No.5 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/04/13 17:54

sin x と cos x とか書いてないのに、確認中と表示されません

何が起こったのでしょう？

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/04/13 17:52

sin 2x ＝ 2 sin x cos x

sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 2 (2sin x cos x) (2 cos^2 x - 1)

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x

= sin x + 2 sin x cos x + 3 sin x - 4 sin^3 x + 4 sin x cos x (2 cos^2 x - 1)

= sin x (1 + 2 cos x + 3 - 4 sin^2 x + 4 cos x (2 cos^2 x - 1)

= sin x (4 + 2 cos x - 4( 1 - cos^2 x) + 3 cos^3 - 4 cos x)

= sin x ( - 2 cos x + 4 cos^2x + 8 cos^3 x)

= 2 sin x cos x ( 4 cos^2 x + 2 cos x -1)

= 2 sin x cos x ( (2 cos x + 1/2)^2 - 5/4)

0 < x < π/2 で sin x も cos x も 0 にならないので

(2 cos x + 1/2)^2 - 5/4 = 0

2 cos x + 1/2 = ± √5/4

cos x = -1/4 ± √5/8

0 < x < π/2 の範囲なので

cos x = -1/4 + √5/8 = 0.0295084972

x = acos(0.0295084972) = 1.5412835455 = 0.4906057899π

PS:　１つ前の回答はどっか禁制語に触れた？

この回答へのお礼

忙しい時に2回も回答いただきありがとうございました。回答内容が見れない不具合が起きたのですが、何とか自分で解けました。

お礼日時：2014/04/14 18:27

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/04/13 17:46

sin 2x ＝ 2 sin x cos x

sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 2 (2sin x cos x) (2 cos^2 x - 1)

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x

= sin x + 2 sin x cos x + 3 sin x - 4 sin^3 x + 4 sin x cos x (2 cos^2 x - 1)

= sin x (1 + 2 cos x + 3 - 4 sin^2 x + 4 cos x (2 cos^2 x - 1)

= sin x (4 + 2 cos x - 4( 1 - cos^2 x) + 3 cos^3 - 4 cos x)

= sin x ( - 2 cos x + 4 cos^2x + 8 cos^3 x)

= 2 sin x cos x ( 4 cos^2 x + 2 cos x -1)

= 2 sin x cos x ( (2 cos x + 1/2)^2 - 5/4)

0 < x < π/2 で sin x も cos x も 0 にならないので

(2 cos x + 1/2)^2 - 5/4 = 0

2 cos x + 1/2 = ± √5/4

cos x = -1/4 ± √5/8

0 < x < π/2 の範囲なので

cos x = -1/4 + √5/8 = 0.0295084972

今、出張中で Excel ではなく、空港のインターネットサービスの
Open Office Calc で計算すると

x = acos(0.0295084972) = 1.5412835455 = 0.4906057899π

PS: 空港で紙、鉛筆ない状態で計算したので、
　　どっか計算間違えた気がします

No.2 回答者： f272 回答日時： 2014/04/13 17:39

和積の公式を使うことは分かったのなら，それを使って与えられた式を変形してください。

話はそれからだ。

この回答へのお礼

解くことができました、ありがとうございました。

お礼日時：2014/04/13 19:22

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/13 17:30

ひたすら和積を使う.

この回答へのお礼

自力で解けました、質問に答えてくださってありがとうございました。

お礼日時：2014/04/13 19:21