n＾2+3n+8とn+2の最大公約数

高校数学の問題です
「nは自然数とする。n＾2+3n+8とn+2の最大公約数として考えられる数を全てもとめよ」
この問題の解き方をどなたか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2014/04/19 17:27

ANo.2と同じ事ですけど、ま、普通にユークリッドの互除法をやってみてもいいんです。

すなわち、n^2+3n+8をn+2で割った余りは6。なので、求める答はn+2と6の最大公約数。
　その続きはというと、
　　n+2 = 6なら、6が答。
　　n+2 > 6なら、n+2を6で割った余りrを出して、r≠0なら6をrで割った余りを出して…と続く。
　　n+2 < 6 なら、6をn+2で割った余りrを出して、r≠0ならrを6で割った余りを出して…と続く。
余りだけに注目するのだから、ほんの幾つかの場合についてだけ検討すれば答が出る訳です。

この回答へのお礼

なるほど
ユークリッドを使えば良かったんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/04/19 18:10

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/19 17:10

No.1です。

ANo.1のの回答を言い換え補足をします。

n＾2+3n+8=(n+2)(n+1)+6とn+2の最大公約数は

(n+2)(n+1)+6と6=1*2*3の最大公約数なので

6の約数の「1, 2, 3, 6」が、n＾2+3n+8とn+2の最大公約数として考えられる数を全て
ということになります。

(答) 1, 2, 3, 6

この回答への補足

3行目のことなんですが、6=1*2*3というのはどこからきたのでしょうか？

補足日時：2014/04/19 18:16

No.1 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/19 16:56

n＾2+3n+8=(n+2)(n+1)+6

n+2と6の最大公約数となる可能性のある6の公約数であるから
「1, 2, 3, 6」の４通りです。