1~400までの整理番号を持った人がA~Eに振り分けられた。
この時、350番の整理番号を持った人はどのグループに属するか。
A 1~2/21~27/66~77
B 3~5/29~35/78~90
C 6~9/36~44/91~104
D 10~14/45~54/105~119
E 15~20/55~65/120~135
解説だと
1.2→1群
3.4.5→2群
6.7.8.9→3群
.......[(n+1)個]→n群
そこから値が (n+1)(n+2)/2 -1
350がn群に入ってるとし、
350≦(n+1)(n+2)/2 -1 になるそうです。
ちなみに正解はEに属してるそうです。
数列を求める公式がn(n+1)/2 というのは調べて理解したのですが、
この問題に関してはさっぱりわかりません。
誰かわかりやすく教えていただけませんか?
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
1.2→1群
3.4.5→2群
6.7.8.9→3群
.......[(n+1)個]→n群
n群までの和は、
2 + 3 + 4 + ... + n+1
です。
これを、
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n+1
と比べると、最初の 1 だけ少ないことがわかります。
なので、1からn+1までの和から1を引けば、
n群までの和が求まります。
1からnまでの和が、n(n+1)/2 なので、
この式のnの代わりにn+1を入れると、
1からn+1までの和 が求まります。
つまり、(n+1)(n+2)/2 が1からn+1までの和です。
これから1を引いたものが、
(n+1)(n+2)/2 - 1 という書かれているn群までの和の式になります。
「350がn群に入ってるとし、
350≦(n+1)(n+2)/2 -1 になるそうです。」
やりたいのは、求めた式で、350以上になる最小のnを求めるということです。
これにより、350が何群に入るのかが分かります。
350≦(n+1)(n+2)/2 -1
351≦(n+1)(n+2)/2
351x2≦(n+1)(n+2)
702≦(n+1)(n+2)
あとは、nに適当に数を入れてみて、最小のnを求めます。
n=24 だと、右辺=25x26=650 なのでこの不等式を満たしません。
n=25 だと、右辺=26x27=702 なのでこの不等式を満たします。
よって、n=25となります。
つまり、25群に350は入るということです。
25群は5で割り切れるので、この群が入るのは、Eです。
よって、答えはEになります。
--------------------------------------
n群までの和、
2 + 3 + 4 + ... + n+1
を求める方法はいろいろあります。
第k項が、k+1 になっている数列なので、
∑(k=1...n)(k+1)
= ∑(k=1...n)k+∑(k=1...n)1
= n(n+1)/2 + n
とも計算できます。
また、
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2
というご存知の公式を導いたときと
同じ考えでも当然求まります。
S= 2 + 3 + 4 + ... + n+1
とおいて、
S= n+1 + ... + 4 + 3 + 2
と逆から並べて2つの式を足しますと、
2S = n+3 + n+3 + n+3 + ... + n+3
となり、右辺は n+3 が n回足されているので、
2S = (n+3) x n
よって、
S = n(n+3)/2 となります。
(n+1)(n+2)/2 -1
も
n(n+1)/2 + n
も
n(n+3)/2
も
全部同じ式です。
確かめてください。
--------------------------------------
ところで、最初にこの問題を見た時には
私は、このように解きませんでした。
答えだけ求めればいいのですから。
A 1~2/21~27/66~77
B 3~5/29~35/78~90
C 6~9/36~44/91~104
D 10~14/45~54/105~119
E 15~20/55~65/120~135
と振り分けていくわけですが、
説明の便宜上、1~20までを振り分けるのを一周目の振り分、
21~65までを振り分けるのを二周目の振り分け、
・・・、と呼ぶことにします。
Aは一周目の振り分けで2個、次の二周目では7個、三周目では、12個と
振り分けられる個数が、5ずつ増えていきます。
これは、他のB~Eでも同じです。
従って、A~E全体の合計では、25個ずつ周回毎に振り分けられる個数が増えていきます。
1周目 20個
2周目 20+25=45個
3周目 45+25=70個
4周目 70+25=95個
5周目 95+25=120個
たしかに、
2周目まで合計で、20+45=65 となり、
65が2周目のEの最後の数になっています。
また、
3周目まで合計で、20+45+70=135 となり、
135が3周目のEの最後の数になっています。
350が、どの周回で振り分けられるのかを考えます。
すると、
以下
4周目 135+95=230 まで振り分けられている。
5周目 230+120=350 まで振り分けられている。
とわかるので、
350は5周目の最後に振り分けられたことが分かります。
従って、Eに振り分けられたことが分かります。
何周目で振り分けられるのかが分かった後に、
どのグループに振り分けられたかを考えようとしたのですが、
これを考える必要がラッキーなことにありませんでした。
説明すると長く感じるかもしれませんが、
私のメモだと、
20 45 70 95 120
20 65 130 230 350
とこれだけです。
これは、350という数が小さい数であり、
ほんの数周目で振り分けられるのが明らかだから取った方針です。
No.1
- 回答日時:
1~2とか、3~5とかに分けられているのを「組」と呼びます。
例えば整理番号1番と2番は1番目の組に属することになります。
このとき、組に含まれる人数をn+1とすると、その組はn番目の
群に割り振られるというのが、
>解説だと
>1.2→1群
>3.4.5→2群
>6.7.8.9→3群
>.......[(n+1)個]→n群
という部分の意味です。1群からn群までの人数の総和は、整理番号
1からn+1までの総和に等しいので、
(n+1)(n+2)/2
一方、1群からn-1群までの人数の総和は上記と同様に
n(n+1)/2
と表されます。
もし、
n(n+1)/2<350<=(n+1)(n+2)/2
であれば、整理番号350はn群に入ります。
n(n+1)/2<350 より
n(n+1)<700
n^2+n-700<0
(-1-√2801)/2<n<(-1+√2801)/2
-26.96<n<25.96 ・・・(1)
350<=(n+1)(n+2)/2より
700<=n^2+3n+2
n^2+3n-698>=0
n<=(-3-√2801)/2、(-3+√2801)/2<=n
n<=-27.96、24.96<=n ・・・(2)
(1)と(2)より
n=25 であり、整理番号350は25番目の組に入ります。
25は5の倍数なので、25番目の7組はE群に入ります。
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