微分回路、積分回路の条件

抵抗とコンデンサ、オペアンプを用いて作成した基本的な微分回路、積分回路で正常に微分および積分される条件を詳しく教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： xpopo 回答日時： 2014/06/12 20:53

こちらにアップした回路図とシミュレーション結果（

http://yahoo.jp/box/okVLB9）で以下に説明します。

１）まず右側の微分回路

　入力信号Vinと出力Vout_diffの伝達関数は

　　Vout_diff(s)/Vin(s)=C1*R2*s/(1 + C1*Rx*s)　　　（１）

で与えられます。ここでｓはラプラス演算子を表します。
式（１）の分母は１＋　C1*Rx*s　となってますのでこのままでは微分にはなりません。
そこで、ｓが　s << 1/(C1Rx)　の条件が成り立つ場合式（１）は

　Vout_diff(s)/Vin(s)=C1*R2*s　　　（２）

と書けます。ｓはｊωですので式（２）は周波数領域で

　Vout_diff(ω)/Vin(ω)=C1*R2*（ｊω）　　　（３）

と表せます。これが微分状態になります。結局周波数ωが　1/（C1*Rx）　より十分低い領域で微分が成立すると言うことです。
この様子はアップした図の上段に示したシミュレーション結果の黄色の線のV(out_diff)の周波数特性に表されています。
Rx=100Ωの時の特性を見ると、　周波数ｆｃ＝１／（2*π*100Ω*0.1uF）＝16kHz　以下で＋６ｄB／octの直線になってます。この周波数領域では微分が成り立ってるという事がわかります。
　また、Rxが22Ωより小さくなってくると周波数100kHzでピークが現れてきます。これは発振です。発振を避けるにはRxの値を帰還抵抗R2の２％以上にする必要があります。

２）次に左側の回路の積分回路について

　入力信号Vinと出力Vout_intの伝達関数は

　　Vout_int(s)/Vin(s) = - (Ry/R3)/(1 + C2Rys)　　（４）

で与えられます。ここでｓはラプラス演算子を表します。
式（４）の分母は１＋　C2*Ry*s　となってますのでこのままでは微分にはなりません。
そこでｓが　　 s >> 1/(C2Ry)　の条件が成り立つ場合、式（４）は

　　Vout_int(s)/Vin(s) = - (1/(C2R3))*(1/s)　　　（５）

と書けます。ｓはｊωですので式（５）は周波数領域で

　 Vout_int(w)/Vin(w) = - (1/(C2R3))*(1/(jw))　　（６）

と表されます。これが積分状態を表す式になります。　条件として、周波数ωが　1/(C2Ry)　より十分大きい領域で積分が成立するということです。　この様子はアップした図の上段に示したシミュレーション結果の赤の線のV(out_int)の周波数特性に表されてます。図でRy＝100kΩの時の特性を見ますとｆｃ＝１／（2*π*0.1uF*100kΩ）＝16Hz　より高い周波数で　-6dB/oct　の割合でげいんが減少する特性になってる事が分かります。このｆｃより高い周波数領域で積分が成り立つと言う事が分かります。またRyが小さくなってくると積分が成立する周波数領域がどんどん高い周波数の領域になってしまいます。上限はオペアンプの周波数特性の上限で制限されてしまいます。したがって、Ryはできるだけ大きな値にした方が積分できる周波数領域を広く取れることになります。

No.3 回答者： kiyos06 回答日時： 2014/06/12 21:06

1)正常な動作条件

1.1)イマジナリショートが実現されていること。
1.2)アンプの出力速度が追いつくこと。-> (1.1)ができなくなる。
1.3)アンプの出力が飽和しないこと。-> (1.1)ができなくなる。
1.4)コンデンサの抵抗分や漏れ電流が小さいこと。

2.1)特に微分回路に高速変化入力が入るとout -> 微分回路を使わず積分回路で実現するように組む。
2.2)対象をアンプの動作周波数範囲とする。
2.3)対象がアンプ出力範囲内に入るようにする。
2.4)コンデンサの周波数特性が問題ない範囲になるようにする。-> 時間軸を実時間の数倍にする。
2.4.1)対象を漏れ電流等の誤差が十分小さくなるようにとる。

No.1 回答者： shintaro-2 回答日時： 2014/06/07 17:51

正常の定義が不明です。

オーバーシュートしないとかの話でしたら抵抗を充分大きくすれば解決します。
微分方程式を解いてみてください。