微分とは何か

関数y=f(x)に対して、xの微分dxとyの微分dyはそれぞれ
dx=⊿x
dy=f´(x)dx
と定義される、と教科書に書いてあるのですが、
このように定義することの根拠や妥当性はどこにあるのですか。

また、導関数を求める＝微分する、と習ったのですが、
「微分すること」と「微分」とはどのように違うのですか。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/24 08:31

微分の根拠を経験に求めるなら、それは「速さ」

という概念を数学化する必要があったからだと
思います。

2点間の距離を△x、2点間の移動にかかった
時間を△tとすれば平均の速さは △x/△t

ある位置(あるいはある時刻)での速さを求めるには
2点を限りなく近づければよいので
速さは lim[△x→0 あるいは△ｔ→０]△x/△t

とすればよいと考えたのでしょう。

このアイデアを最初に思い付いたはニュートン

d×/dt というように記述法を決めたのは
ライブニッツです。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/24 02:49

>なぜyの微分dyつまりyの微小変化がf´(x)dxなんですか。

微分係数のというのはこの場合、xの微小変化に対するyの
微小変化の割合なので、それをそのまま数式に
しただけですね。

>また、yの微分がyの微小変化のことなら、dy=⊿yとしてもよさそうですが、
>それは挙げた教科書の中で否定されていますし、そのことは納得しています。

どんな文脈で否定しているか不明ですが △yを限りなく0に近づけたのがdy

dy/dx=lim[△x→0]△y/△x

が普通に使われている微分係数の定義です。厳密にはdxも△xと少々意味合いが
違うことがわかると思います。d×には限りなく小さくしたものということが含意
されています。dyも同様です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/24 02:17

>リンゴ１個とリンゴ１個を合わせてリンゴ

>２個になるというような経験があるからです。

それは現実に対する利便性とでもいうべき
ものだと思いますよ。

現実に対する経験に根拠を求めなければいけないのなら
リーマン幾何や双曲線幾何はゴミです。

でもルールが無矛盾ならなんでも考えることができるのが
数学だと思います。その中から利便性や有用性のあるものが
生き残るのでしょう。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/23 22:32

>「xの微分」と「xを微分」とはどう違うのでしょうか。

xの微分とは dx つまり xのの微少変化のこと
xを微分とは関数f(x)=×の導関数を求めることです。

この回答への補足

yの微分についてはどうですか。
もしyの微分がyの微小変化のことなら、なぜyの微分dyつまりyの微小変化がf´(x)dxなんですか。
また、yの微分がyの微小変化のことなら、dy=⊿yとしてもよさそうですが、
それは挙げた教科書の中で否定されていますし、そのことは納得しています。

補足日時：2014/07/24 01:18

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/23 22:26

>理工系の数学入門コース１微分積分

このての本は数学的厳密性より実用性と
直感を重んじているはず。微分の定義なんて
簡単に済ませているはずですよ。

厳密にやりたいなら微積分学などの本を
よんで下さい。

しかし数学の定義の「根拠」と「妥当性」って
いったい何でしょうね?

私には皆目わからないです。

足し算の根拠・・・って？？？

この回答への補足

＞足し算の根拠・・・って？？？
足し算の根拠や妥当性、
例えば、１たす１がなぜ２になるのか、あるいはそう考えるのが妥当かというと、
例えば、リンゴ１個とリンゴ１個を合わせてリンゴ２個になるというような経験があるからです。
もし、リンゴ１個とリンゴ１個を合わせてリンゴ３個になるということが多くの人の共通認識ならば、
１たす１が２になることの根拠や妥当性がないので、
足し算の定義は否定されるでしょう。

補足日時：2014/07/24 00:59

No.2 回答者： trytobe 回答日時： 2014/07/23 09:44

補足において、「xの微分」と 「xを微分」を混同しておられる時点から、ご自身が定義やその妥当性を見失っているだけに思われます。

そもそも、ご質問のような定義をしている教科書があったら、書名・出版社・出版年をお聞かせいただきたいくらいです。（参考書なら、そういういい加減な説明もあるでしょうが）

この回答への補足

＞補足において、「xの微分」と 「xを微分」を混同しておられる
補足での間違いは投稿後に気づきました、すいません。
訂正前：xを微分した結果dx=⊿xはxの導関数あるいは微分係数なんですか。
訂正後：xの微分dx=⊿xはxを微分した結果、すなわちxの導関数あるいは微分係数なんですか。

「xの微分」と「xを微分」とはどう違うのでしょうか。そこがわかりません。


＞ご自身が定義やその妥当性を見失っているだけに思われます。
見失っているというよりも、そもそもそれがわからないので、質問しました。


＞ご質問のような定義をしている教科書があったら、書名・出版社・出版年をお聞かせいただきたいくらいです。
理工系の数学入門コース１微分積分・岩波書店・1988年
ちなみに、当の定義があるのは、69ページから70ページにかけてです。

補足日時：2014/07/23 16:01

No.1 回答者： hg3 回答日時： 2014/07/22 20:42

単純に日本語の問題です。

「定義する」というのは、物事の意味や内容を明確に決めることです。

dx=⊿xを「ｘの微分」、dy=f´(x)dxを「ｙの微分」と呼ぶことに決めた(名称を決めた）のですから、根拠とか妥当性はありません。
（微分を考えることに意味がないと言っているのではありませんよ。）


「微分する」と「微分」の違いは、「計算する」と「計算」の違いと同じと考えれば理解しやすいのでは。
「計算」とは計算することあるいは計算結果のことを意味しますよね。
ですから「微分」とは微分することまたは微分した結果（＝導関数や微分係数）のことを意味すると考えれば良いでしょう。

この回答への補足

何かを定義するときにその定義が妥当なものかどうかを考えることは必ず必要だと思います。
そう定義することが多くの人が妥当だと考えるからこそ、そう定義できるのだと思います。
点とは部分をもたないものであるとか、線とは幅のない長さであるなどは、そう定義することが妥当だからそう定義したのです。

＞「微分」とは微分することまたは微分した結果（＝導関数や微分係数）のことを意味する
xを微分した結果dx=⊿xはxの導関数あるいは微分係数なんですか。
むしろxを「微分する」と1になると思うのですが。

補足日時：2014/07/22 23:22