大学受験数学解法について

Question

数学で解いた問題を身につけようとしているのですが、ふと、その問題の解答に書いてある文章、数式が何故その場面で書かれているのか考えているだけで、解法を覚えているわけではないんじゃないかなと考えてしまいました。解法と言うと、この問題はあれを求めるから、まずこれを解いて、次にこれを証明して、などのようにフローチャートを使い言葉で全て表すことが出来る状態なのかなと思っています。独学で問題を解く場合にその問題の解答の解法をどのようにして見つけるのかわかりません。塾や家庭教師は自分には合わずなんとか一人でやってきたものの、誰かに教えてもらっている学生さんは、教わる方に解法を教えてもらっているので自ら悩む必要もなくなるかと勝手に考えてたりもしました。
例えば問題を見て、解答例を使いながら箇条書きやフローチャートで解法を導くにはどうすればいいでしょうか。たくさん調べましたが有益な情報が得られなかったので教えてください。

akinomyoga · Accepted Answer

★実際は、きっちりかっちりした「公式、典型的解法」とふわふわした「解答の流れを掴む感覚」の両方が必要という事

きっちりかっちりした「公式、典型的解法」もままならない状態で、感覚だけ磨いても何の意味もありません。幸い、きっちりかっちりしている方は、何も考えずに数をこなせばそれなりに身に付きます。

> わからなかったら解答を直ぐに見て次の問題に進むのと、わかるまで考えるのはどちらが確実に点をとれる

自力で解法を編み出す事ができる様になるという事ではなく、取り敢えず点を取るという事が目的であるのであれば (難関大を受ける訳でなければ)、解答をそのまま暗記する様な方法だけで充分なのかも知れません。つまり、
> 確実に点をとれる
という観点だけでいうならば、取り敢えずは解法の丸暗記が一番でしょうね。難問は捨ててパターン問題を確実に仕留めるという事です。何か方向性が間違っている気もしますが、所詮受験ですし。

しかし本当に熟練したければ、実際には「数をこなす＝技術を磨く」という事と「考え抜く＝感覚を養う」という事の両方をバランス良く行わなければならないと思います。つまり、〈分からなければどんどん次に進む〉という態度で数をこなしつつ、考え抜くという訓練もするという事です。

★思考停止するぐらいなら解答例を見るという事
> また、わからなかったら直ぐに解答を見るやり方をお勧めしている人（受験サイトではよく見かけます）がいます

わからない時に思考停止する様な人って結構います。例えば、文章題が出題された時に、文章を友達からのメールを読むような気分でさっと読んでそれで意味が通らなければ「どうやって考えたら良いのか分からない」と悩む人です。こういう場合は、「文章題の文章を改めて注意深く読んでどういう問題か説明して下さい」というと何事もなく解ける様になったりします (本人には自分が問題文を充分に読んで理解していないという意識が全くないので問題文を読み返そうという発想すら自然には出てこないのです)。問題の意味が理解できている場合でも、すぐに解法が分からない時に〈既に似たような問題を解いた事〉がないか「思い出そう」と解答用紙とにらめっこして膠着状態になる人もいます。というか出来ない人は大体このパターンだと思います。

何時間でも考え抜くと書いたのは、このような思考停止状態を何時間も続けるという事ではなく、取り敢えず何でもいいから書きまくる・計算しまくるいう事です。でも、それは結構難しい事です。その様に努力しようと構えると却って思考停止状態になってしまったりします。そんな思考停止状態を1分でもするのであれば、解答をさっさと見た方が良いというのには賛成ですね。

spring135 · Answer

フローチャートはとてもわかりやすく、そつなく書かれていて、感激してしまうかもしれませんが、

これは説明用のもので、こんなものを書いていては実戦で間に合いません。

フローチャートは問題を平面的にベタにとらえてしまうことに気がつかなければなりません。

むしろポイントとして

（1）問題の定式化（式で表す）

(2) 式を解く

という2ステップぐらいを意識していれば十分です。

フローチャートはコンピュータプログラムの計算の流れを説明するのに盛んに用いられますが、

プログラムを走らせているうちに加えたたくさんの変更を反映して、計算終了後に整理するものです。

高校の数学の勉強はフローチャートを書くためのものではありません。

問題を可能な限りやって、解くという感覚を身に着けることです。、

、

kacchann · Answer

>解法と言うと、この問題はあれを求めるから、まずこれを解いて、
>次にこれを証明して、などのようにフローチャートを使い
>言葉で全て表すことが出来る状態なのかなと思っています。

君の言ってる意味はわかる。
ようするに
「解答全体の流れ」「解答の全体像」のことだよね。

しかし、
高校数学や入試数学において、
そんなフロチャートを示せる(もしくは描ける)必要は、
ふつうはない。

こういう「高度な芸当」ができるやつは、よほど
入試数学やりこんでるやつで、
まあ、東大には余裕で入れる気がする。

---

高校数学や入試数学においてよく「解法マスターせよ」といわれるけど、
この場合の「解法」というのは、
「そのタイプの問題における、たった一つの着眼点(もしくは要所)」の事をさしてる。
「解答全体のフロチャート」のことではなく。
 
---

「チャート数学」に代表される、
例題解説型参考書は、
「そのたった一つの「パズル解答着眼点」」がババーンとかかれている。
というかそのための本。 (※ただし数研チャートは、
この点においてすら、あんまり出来が良くないと思うケド)

だから受験生は皆さん、
普通はこの手の本を1度は使う。 
そして、
こんな「頻出例題レベル」において、
自力で「解法」(パズル着眼点)を見つける必要はない。
だってこれらは、基本テクなので。なかば公式みたいなもの。
だから参考書を読んで、納得して、覚えればよい。

---

そして、
解法全体の流れ(フロチャート)については、
これは覚える必要はない。というか覚えられないし。
覚えなくても、解けるでしょ？

ドミノを倒すのに、全部いちいち手で倒す必要はないのと同じ。
必要なのは、はじめのドミノを倒すことだけ。 
残りのドミノは、必然的に自動的に倒れる。
---

とはいえ、念を押せば、
上記は、例題レベルの話。
「実際の本番レベルの問題」を演習する段階になると、
やや違う様相を呈してくることも、それなりにあるかも。
---

まだなにか疑問があれば
具体例を提示してみてくれれば、
ここの回答者さんたちも、説明しやすいかも。

akinomyoga · Answer

質問文を要約すると「数学の学習をしているが解答例をただ追うだけになってしまっている。本当の問題の解法というのは、解答例に載っている解答の流れの事ではなく、その流れを作り出す方法の事であるはずだが、これはどの様にして身につければ良いのか。」という事で宜しいでしょうか。

○答えは一つではないと思いますが、私見を書いておきます。

一言でいってしまうと、解答の流れを作り出す機械的な手順はありません。「数学的感覚」に基づき、多少の試行錯誤を交えながら、流れを編み出します。従って、感覚を磨くという事が唯一の鍵になると考えますが、これはもうひたすら問題を解いたり数式を弄くり回したりして経験を積むしかありません。

フローチャートなどは流れを大体編み出した後にそれを改めて整理するのには使えますが、流れ自体を構築する際には却って邪魔だと思いますね。流れ自体を構築している途中というのはきっちりかっちりした様な物ではなく、試行錯誤で様々な方向に手(＝発想)を伸ばして、沢山ある枝(＝分かること)の内のあっちの枝とこっちの枝がふっと突然繋がったり、とかかなり有機的な物である様に思います。この様な思索過程に於いてフローチャートを一々書いていたら大変な事になりますし、発想の自由も奪われてしまいます。

一方、箇条書きは結構使えます(特に難問で詰まった時)。問題を解くのに一見関係ない事でも、取り敢えず分かることをずらずらと並べて書き出して、それを俯瞰して見ると見落としていた点が見えてきたり、「感覚」がふっと掴めたりします。その後の〈流れを作り出す〉という作業は結局別に行わなければなりませんが。

○感覚を養うという事

もう少し詳しく。私見ですが、人間の思考なんていう物は、突き詰めれば全て過去の経験・記憶に対するパターンマッチングを用いた連想の積み重ねに過ぎません。中でも、きっちりかっちりしたパターンは公式だとか式変形の規則だとかで、もっとふわふわした〈こういう問題の時はこんな感じのパターン〉などといった経験の膨大な集合体が「感覚」です。きっちりかっちりした方は覚えれば済む事ですが、「感覚」の方はただひたすら幅広く経験してふわふわを意識の奥底に溜め込むしかありません。

では、特に自ら解答の流れを構築する為にはどの様な経験が必要かという事ですが…

解答例をみながら学習するとか塾や家庭教師に教わるというのははっきりいって有益とは思えません。これらは、特定の問題の解答の道筋を手っ取り早く身につけるのには役立ちますが、全く未知の問題に対しては無力です (受験程度はそれでも乗り切れるというのが塾の考えなのかもしれませんが)。地図で例えるならば、「田中さんの家に行く為には1つ目の交差点で右に曲がり更に3つ目の交差点で左に曲がり…云々」という手順書に従う感じです。

一方で、自ら解答の流れを構築するというのは全く異なります。「田中さんの家は確か郵便局の近くで郵便局はタワーの近くにあると聞いていたから、取り敢えず交差点があったらタワーの見える方向に曲がろう (＝関係のありそうな事に絞る)。タワーの近くに行ったら、道行く人に郵便局の場所を尋ねよう (＝更に絞る)。田中さんの家には大きな木があると聞いていたから、郵便局に到着したら近所をうろうろして大きな木のある家を探そう (＝試行錯誤する)。田中さんの家を見つけたら、途中道に多少迷ったりした部分を省略してその道筋をまとめよう (＝それまでの流れを整理し解答を作成する)」的な雰囲気です。〈タワーの周辺→郵便局の近所→大きな木のある家の候補たち→田中さんの家〉の様な感じに範囲を大きな所から絞り込んでいく事が重要です。そして、これを実行するのに必要なのは土地勘です。特に、"タワーの周辺に何があるかやタワーが大体どちらの方向にあるか" と言った低解像の(粗い)土地勘から、"郵便局の近くにどんな物があったか" などの高解像の(細かい)土地勘までの各レベルの土地勘です。

そして土地勘を養うのに必要なのは手順書に従う事ではなくて、その辺りを適当にうろつき回る事です。数学の学習で言うならば、例えば、解答例を全く見ずに今ある知識だけをもとにとにかく何時間でも考え抜く事です。ややもすれば初めの段階でタワーと逆の方向に向かってしまうなど全然関係ない事を考える羽目に陥ったりもしますが、その事によってタワーと逆方向の土地勘については確かに自分の物として身に付き、後々別の問題を解く際に大いに役立ちます。また、問題を解いている途中でふと気になる事があれば大いに脱線して考察をして下さい。例えば、大きな木のある家を尋ね回っている途中に〈最近近くに新しいアイスクリーム屋が開業した〉と小耳に挟めばそのアイスクリーム屋に立ち寄ってみるのも一興です。あるいは、解いている問題の設定を少し弄ったらどうなるか気になったら設定を弄り倒してどうなるかを徹底的に調べ上げるのも一興です。文字通り「ぶらぶらとうろつき回る」んです。そんな事をしている内にいつの間にかに土地勘が出来て、見た事ない問題でも「取り敢えずタワーに行くか。取り敢えず郵便局に行くか。取り敢えず大きな木の家を探すか」の様な感覚で自然に問題を解ける様になります。

大量の手順書を次から次へとこなして脇目もふらず道を進み続けるよりは、脇目振り振り脱線してぶらぶらうろつき回る方が余程楽しいですし実力になります。(でも…本番の試験では脱線しないように!)

Key_A · Answer

国語力が足りないので補強しましょう。論理構成には不可欠ですから。

ORUKA1951 · Answer

フローチャートは、他人--特にお馬鹿な機械--相手に手順を説明するには最適なツールである事は否定しません。しかし、実際に問題を解くあなたが、その解いていく手順をフローチャートで表す必要はありません。せいぜい
[問題を広げる]
┌───┤
│┌──┤
││　[問題を読む]
││　　｜
││　[数式に置き換える]
││　　│
│└NO─＜数式に置き換えられたか＞
│　　　│
│　　[数式を解く]
│　　　│
│　　[検算をする]
│　　　│
└No─＜合っているか＞
　　　　│
　　　（回答）
程度ですよ。(^^)

＞独学で問題を解く場合にその問題の解答の解法をどのようにして見つけるのかわかりません。
　解法なんて挑戦する人の数ほどある(^^)。他人の説き方なんて何の役にも立たない。
★質問を理解する≒質問を式にする。
　これだけが問題なのじゃないかと思いますけど。計算ミスは数学とは関係ない。
　数学じゃなくて、絵や動画のない、素の文章(小説とか・・)を読んだり、会話を聞いて本質を抜き出す力を身につけるべき。

ejun · Answer

私も受験生時代に同じ疑問を抱えたまま解決できずに、大学受験に失敗しました。
その後、数学で修士を取り、社会人経験を経て数学の先生になった今、ようやく答えと言えるものを原稿にまとめあげました。
本当は本にしたかったのですが、全く新しい方法なので実績が少なくネット公開する決断をしました。
もう少し公開は遅らせようと思っていたのですが、当時苦悩していた自分を見るようでこれも何かの縁かと思い、回答することにしました。
参考ＵＲＬに私の回答がありますのでお読みください。ぜひご感想を聞かせてほしいと思います。

参考URL：http://ameblo.jp/ejun-t/

大学受験 数学 解法について

フローチャートはとてもわかりやすく、そつなく書かれていて、感激してしまうかもしれませんが、

>解法と言うと、この問題はあれを求めるから、まずこれを解いて、

質問文を要約すると「数学の学習をしているが解答例をただ追うだけになってしまっている。

この回答への補足

国語力が足りないので補強しましょう。

フローチャートは、他人--特にお馬鹿な機械--相手に手順を説明するには最適なツールである事は否定しません。

★実際は、きっちりかっちりした「公式、典型的解法」とふわふわした「解答の流れを掴む感覚」の両方が必要という事

私も受験生時代に同じ疑問を抱えたまま解決できずに、大学受験に失敗しました。

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