教えて下さい。

数学の宿題で、分からないところがあったので、教えて下さい。

α、βを複素数とするとき、次のことを示せ。
＿＿　＿　＿
αβ＝α　β

No.3 ベストアンサー 回答者： akn1aj 回答日時： 2004/05/31 22:27

｜α｜^2 = αα（バー）, ｜αβ｜=｜α｜｜β｜、これを使えばカンタン。

[別解]
　任意の複素数α, βで｜α｜^2 = αα（バー）…(1), ｜β｜^2 = ββ（バー）…(2)。
(1)x(2)より
｜α｜^2・｜β｜^2 = αα（バー）・ββ（バー) …(3)。
(3)の左辺 = (｜α｜・｜β｜)^2 = (｜αβ｜)^2 = αβ・αβ（バー）…(4)。
(3)の右辺 = αβ・α（バー）β（バー)…(5)。
(4), (5)より αβ・αβ（バー）= αβ・α（バー）β（バー)…(6)。
任意のα, βで成立するから、
αβ（バー）= α（バー）β（バー）…(7)

No.2 回答者： akn1aj 回答日時： 2004/05/31 13:17

「わかり易さ」という点なら共役複素数の意味から、極形式表示で考えてみましょう。

α= r1(cos θ1 + i sin θ1)…(1), β= r2(cos θ2 + i sin θ2)…(2)として
αβ= r1・r2｛cos (θ1 +θ2)+ i sin(θ1 +θ2) ｝…(3)。
一方、共役複素数とは実軸対称で、偏角θに対し-θとなる。よって(1), (2), (3)より
α（バー）= r1{cos (-θ1) + i sin (-θ1)}…(1)’, β（バー）= r2{cos (-θ2 )+ i sin (-θ2)} …(2)’, αβ（バー）= r1・r2[cos{ -(θ1 +θ2)}+ i sin{-(θ1 +θ2) ｝]
…(3)’。
(1)’,(2)’の積をとり
α（バー）β（バー）= r1・r2[cos{ -(θ1 +θ2)}+ i sin{-(θ1 +θ2) ｝]
…(3)’’。
従って(3)’, (3)’’より、 αβ（バー）= α（バー）β（バー）…(4)

No.1 回答者： moby2002 回答日時： 2004/05/30 09:03

何も考えずにただ計算しても証明できますよ。

α=a+bi
β=c+di
とおくと、
αβ=ac-bd+(ad+bc)i
よって
αβ(バー)=ac-bd-(ad+bc)i
また、
α(バー)*β(バー)=ac-bd-(ad+bc)i
よって
αβ(バー)=α(バー)*β(バー)