三角関数の証明（有理数であること等）

m,nは自然数、０≦θ＜2πとする。
（1）cosθ、sinθがともに有理数ならば、cosｍθ、sinｎθはともに有理数となることを示せ。
（2）cosθ＝(n^2-1)/(n^2+1)、sinθ＝2n/(n^2+1)ならば、θ＜π/nとなることを示せ。


無理数の証明のときに背理法を使ってうまくいくことが多かったので、同様にやってみようと思ったのですが「無理数と仮定する」ということが数式で表せずだめでした。(2)はtanθ/2＝ｎとおいてcosθ、sinθを作る式に非常に似ているのですがそのことは利用できるのでしょうか？
ヒントをいただけると助かります。よろしくお願いします

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/06/11 12:47

補題：

cos(nθ)，sin(nθ)はnが自然数のとき
x,yの「整数係数の多項式f_n(x,y)，g_n(x,y)」
を用いて
cos(nθ)=f_n(cosθ,sinθ)
sin(nθ)=g_n(cosθ,sinθ)
と表せる

証明：nに関する帰納法
n=1のとき明らかに成立
n=kのとき成立すると仮定する
すなわち
cos(kθ)=f_k(cosθ,sinθ)
sin(kθ)=g_k(cosθ,sinθ)
となる整数係数多項式f_k(x,y) g_k(x,y)が存在する
n=k+1のとき
cos((k+1)θ)=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ
=f_k(cosθ,sinθ)cosθ-g_k(cosθ,sinθ)sinθ
したがって整数係数多項式f_{k+1}(x,y)を
f_{k+1}(x,y)= f_k(x,y)x-g_k(x,y)y
と定めることで
cos((k+1)θ)=f_{k+1}(cosθ,sinθ)
sin((k+1)θ)に関しても同様
（証明終）

これはつまり「三角関数のn倍角の公式」は
きちんと「整数係数多項式」で表せるということです
またもっと証明を精査すれば
cosだけで表せるとかsinだけで表せる条件なども
見つけられます

これが分かれば，(1)は明らかで
整数係数多項式に有理数を代入すれば
その値は有理数なので(1)は証明された


(2)に関しては
No.2さんと同様に
tanA > Aを用います．

それで半角の公式から cos^2(θ/2)=n^2/(n^2+1)
tan^2(θ/2) = 1/(con^2(θ/2)) - 1 = 1/n^2
である
さらにsinθ>0，cosθ>0だからtanθ>0
よってθは第一象限なので tan(θ/2)>0
つまり
tan(θ/2)=1/n
θ/2 < tan(θ/2) なので
θ/2 < 1/n
θ < 2/n < π/n （2<πに注意）
つまり
θ<π/n

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2006/06/11 09:41

あなたの予想は大体、半角の公式から(2)はtan(θ/2)＝1/ｎ(n>=1)となります。

するとθ<=π/2。
n=1のとき命題は成り立ちますからn>=2とします。
tanθ=2n/(n^2-1)は明らか。
よく使われる半径１の円弧と三角形の面積の比較からθ/2<(tanθ)/2。1/2をはらっておく。

命題はA=(n^2-1)(π-nθ)>0の証明と同じです。
Aを計算するのですが
θ<tanθ
π>3
を使えば命題が得られる。
=n^2-3>0....n>=2だから
ゆえにA>0.

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2006/06/11 00:46

(1)に関しては、背理法が駄目なら別の方面からアプローチしてみましょう。

この問題は加法定理
sin(α + β) = sinαcosβ + sinβcosα
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
と、数学帰納法を用いれば証明できそうです。
数学的帰納法はもう習いましたか？
もし習ってないなら、後で知らせてください。

とりあえず、cosmθが有理数になることを証明してみます。
cosθ、sinθがともに有理数なので
cosθ = a/b
sinθ = c/d
とします。
（a,b,c,dは整数。これでsinmθとsinnθがm = n = 1で有理数です。）
m = n = kの時、cos(mθ)とsin(nθ)が『両方』有理数と仮定すると
cos(kθ) = s/t （sとtは整数）
sin(kθ) = u/v　（uとvは整数）
と表されます。ここでm = k + 1の時
cos( (k+1)θ )
= cos(kθ+θ)
加法定理より
cos(kθ+θ)
= (coskθ)(cosθ) - (sinkθ)(sinθ)
= (as/bt) - (cu/dv)
= (adsv-bctv)/(bdtv)
これらのアルファベットがすべて整数なので、(adsv-bctv)/(bdtv)は有理数です。
これでcos( (k+1)θ )が有理数だということが証明されました。
同じようにしてsin( (k+1)θ )の方も証明できると思います。

(2)はすみませんが、分かりません。