近似式について

Question

x＝比重，ｙ＝あるものの濃度（％）

1．エクセルを用いて、上のｘ，ｙのグラフをかきました。
2．これにに近似曲線の追加しました。
3．そのときに数式を表示させました。
4．この数式にxの値に数値を入れてｙを逆算させましたがあまり合いませんでした。（なるべく元のデーターと一致させたいのです。）
5．　1・2・3・4・5・6次式まで近似させてみました。
　すると数字が大きくなるにつれて逆算した結果が元のデーターと比べ一致するようになりました。
6．参考までにR＾2の値は次の通りです。
1次式： 0.9912　　　2次式 ： 0.9972
3次式： 0.9988　　　4次式 : 0.9990
5次式： 0.9991　　  6次式 : 0.9994

しかし、通常6次式など聞いたことがありません。
どの式を用いていいのかわからなくなりました。
数字が大きくなる式を使うことのメリット・デメリット
はあるのでしょうか？

またどの式を使うべきかの判断はどうしたらいいのでしょうか？

数学が全くダメな私なので困っています。
どなたかお力を貸していただけないでしょうか？
まことに勝手ですが、6／4の午前中までに教えて頂けますでしょうか？よろしく御願いします。

yoshik-y · Accepted Answer

近似式というのは、あくまで元のデータに如何に合わせるかというものです。

　従って、データには次数を上げるほど合うようになりますが、本当に意味があるかどうかは分かりません。ようするに、すべてのデータ点になるべく近づけるように曲線を引きたければ次数を上げればよろしい。どんどん一致するようになります(これがメリットです)。しかし、計算は大変になるし、物理的な意味があるかどうかは分かりません(これがデメリットです)。
　例えば、こんな例を考えてください。明らかに1次式になるような例です。例えば、横軸に1円玉の個数、縦軸に1円玉全体の重さ(g)を測定した値を描きます。本当は1次式で近似されるはずでしょう。おそらくy=xのような単純な式になるはずです。ところが、実際には秤の誤差などで少し直線から離れて「がたがた」します。これを6次式などで表すと、がたがたに合った微妙に曲がった曲線が得られます。こちらのほうがデータには合いますが、意味のないことはお分かりでしょう。こういう場合は1次式を使うべきなのです。

　つまり、物理現象を表すには、ただデータに一致させるのでなく、理屈にあった式を当てはめるべきなのです。問題となっている濃度と比重でしたら、かなりの範囲で1次式で十分です。広い範囲でも3次式に乗るはずです。そもそもR^2が0.9912なら1次式で十分でしょう。どちらかというと、近似式の次数を上げるよりも、元データの測定数を増やしてなるべく低次の式に乗せたほうがベターです。

FM-8 · Answer

私が思いますに，近似式で重要なのは，どの式がそのものの性質を一番表しているのかを考えてから選ぶべきだと言うことです．

多項式近似するときに，字数が大きい方が
誤差は少なくなります．
このときの係数としては，「最小自乗法」など使う場合がおおいですね．

しかし，たとえば，
落下している物体の垂直距離と時間を測定してプロットしたとして，これらは，
　y = 1/2 g t^2   (g:重力加速度)
となり２次式で表されるべきものです．
このようなものに，6次式を適用してもあまり意味はありません．

ものによっては，指数関数が適する場合もありますし，三角関数のほうが良い場合もあります．


ご質問のばあい，なにかx と yの間に関係が予測できますか？あるとしたら，それはどんな式ですか?


支配方程式がどんなものなのか，一度は考えてみましょう．

支配方程式がわからず，結果として何次式が適当かわからないときは，とりあえず，できるだけ高次の式を適用し，その係数をひかくして，係数が小さいものは無視して，できるだけ低次の式であらわせないか考えてみてはいかがでしょうか．

12m24 · Answer

近似曲線は、あくまで「傾向」を表しているだけで、1次がもっとも近い場合もあれば、3次ではてんでなこともあります。
　どれがもっともよく傾向を表しているかはご自分で判断してください。質問のものの場合、多くても2次ぐらいまででしょうが。
　なお、誤差が少ない方がいいのは、言うまでもありません。

近似式について

近似式というのは、あくまで元のデータに如何に合わせるかというものです。

私が思いますに，近似式で重要なのは，どの式がそのものの性質を一番表しているのかを考えてから選ぶべきだと言うことです．

近似曲線は、あくまで「傾向」を表しているだけで、1次がもっとも近い場合もあれば、3次ではてんでなこともあります。

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