ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

帰納法の問題を教えてください。

すべての自然数nについて、n^3+5nは6の倍数であることを数学的帰納法
によって証明せよ。

よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

1)n=1のとき



n^3+5n=6

これは6の倍数である。

2)n>1である、あるnについて

n^3+5nは6の倍数であることを仮定。すなわち

n^3+5n=6m (mは整数)  (1)

3)n+1のとき

P=(n+1)^3+5(n+1)

が6の倍数であることを言えばよい。

P=(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+6+3n^2+3n

(1)を用いて

P=6m+6+3n(n+1)

nが偶数のとき3n(n+1)は6の倍数

nが奇数のとき(n+1)が偶数になるので3n(n+1)は6の倍数

以上よりPは6の倍数になる。

1)~3)から数学的帰納法によって、すべての自然数nについて、n^3+5nは

6の倍数であることが証明された。
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Qnが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せ

nが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せよ。

上の解き方は,n(n+1)(2n+1)に因数分解し,
2の倍数かつ3の倍数であることを証明すればよいと思うのですが,

教科書には,
2の倍数であるというのは,n(n+1)が連続する2つの整数の積だから証明でき,
3の倍数であるというのは, kを整数として
 n=3kのとき,n=3k+1のとき,n=3k+2のときに3×○の形にすれば証明できるとありました。

ここで質問なのですが,
なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか?
n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか?
 

Aベストアンサー

こんばんわ。

>n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか?
「なぜ」の前に、具体的に代入してみましたか?
n= kだと、nが kに置き換わるだけで 3の倍数かどうかは示すことができませんよね。

>なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか?
自然数を 3で割ったあまりは 0 or 1 or 2のいずれかですから、
n= 3k, 3k+1, 3k+2と書けばすべての自然数を網羅することができますね。

もしこれが「5の倍数」であれば、
n= 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4という場合分けを考えることになります。


「あまり」に対する場合分けをすることで考えやすくなるという、比較的よく使われる手法ですね。


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