標準正規分布のモーメント母関数について

次の問題が与えられています。

【問題】標準正規分布のモーメント母関数を求めよ。

以下のように解答します。

【解答】

モーメント母関数とは、φ(x)として、特にe^t*Xを選んだときの期待値E[e^t*X]を言う。
（ただし、tはXと無関係な変数）

この指数関数e^t*Xをマクローリン展開すると、

e^t*X=1+tx+1/2! (tx)^2+1/3! (tx)^3+⋯…である

tはXに無関係だから、

E[e^t*X]=∑_(k=0)^∞(1/k! E[X^k ] t^k)
となる。

標準分布はe^(-z/2)/2とあらわされる。
これをモーメント母関数を用いて計算する。
φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞　e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①
=1/√2 ∫_(-∞)^∞　e^(-x^2/2+t*x) dx⋯⋯②
=1/√2 ∫_(-∞)^∞　e^(-(x-t)^2/2+t^2/2) dx⋯⋯③
=e^(t^2/2) 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞　e^(-(x-t)^2/2) dx⋯⋯④
=e^(t^2/2)⋯⋯⑤
よって、標準正規分布のモーメント母関数は、e^(t^2/2)

【質問】
A:この解答で正解でしょうか（友人が教えてくれた内容で、今一つ確証が得られません）。
B:次の点が納得できません（友人は、「知らない。解法を暗記しているだけだから……」とのこと）。
　（a）①から②にかけて、πが消えているのですが、どうしてでしょうか。
　（b）③から④にかけて、πが戻っているのですが、どうしてでしょうか。
　（c）④において、 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞　e^(-(x-t)^2/2) dxが１になるのだと思いますが、どうしてでしょうか。

以上、お手数ですが、教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/29 20:55

標準正規分布のモーメント母関数は一般的なモーメント母関数を標準正規分布に適用しただけの話であって、どんな統計の本にも出ていますのでまずは教科書を読みなおしてください。

下記のurlを参考にしてもよいでしょう。
http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm

要するに①の積分をやればよい。

φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞　e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①

この式はあっています。

より正確に書くと

φ(x)= E[e^t*X] =∫(x:-∞→∞)[(e^tx)×(e^(-x^2/2)/√2π ]dx

　　=(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

指数を平方完成して

-x^2/2+tx=(-1/2)(x^2-2tx)=(-1/2)[(x-t)^2-t^2]=t^2/2-(x-t)^2/2

φ(x)=(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

=(1/√2π )e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)[e^(-(x-t)^2/2)]dx

=e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)(1/√2π [e^(-(x-t)^2/2)] dx

積分は要するに正規分布を定義域で積分したものなので1、よって

φ(x)=e^(t^2/2)

質問の式(2),(3)はπが落ちているから間違い。

結論の(4)式はあっています。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/01/29 20:36

先ず確認したいのだが・・、

質問者は自身で学習し、身につけようという気があるのだろうか・・!??

A:この解答で正解でしょうか
（友人が教えてくれた内容で、今一つ確証が得られません）

標準正規分布(N(0,1))のモーメント母関数φ(t)は、e^(t^2/2)
である事は合っている・・!

・・・が、確証が得られないとはどういう意味か??
質問者自身でモーメント母関数の定義式に沿って計算を実行してみればよいではないか・・!

質問者が自分の意思で学習を進めようとするのならば、別に友人など関係ない筈!!
それとも、もしも解答が誤りだったらば、友人の所為にでもする気なのか・・!?

B:次の点が納得できません
（友人は、「知らない。解法を暗記しているだけだから……」とのこと）。
もしも友人とやらの言っていることが冗談でないとするならば・・、
質問者が質問者なら、友人も友人!!
・・・と言ったところか!!

（a）①から②にかけて、πが消えているのですが、どうしてでしょうか。
（b）③から④にかけて、πが戻っているのですが、どうしてでしょうか。
→質問者はどう考えているのか?

c）④において、 1/(√2 π) ∫(-∞→∞){e^(-(x-t)^2/2)}dxが１になるのだと思いますが、どうしてでしょうか
→実際に積分を実行してみれば確かめられる話ではないのか?

自分自身で手を動かそうとすらせずに、安易に他人に頼っていたのでは身に着くものも身に着かない・・!
質問者は学生か・・???