角運動量の方向には、物理的にどのような意味があるのですか?

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A 回答 (5件)

すでにsiegmundさんが回答されてますね。



> もし角運動量の向きが正と負逆だったら何か問題があるんですか?

角運動量の定義は、先にも書いたとおりベクトル積r×Pとなっていますから、その向きはベクトル積の定義から生じるということになります。
その向きの定義は、”慣習的に”右ねじの進む向きとされただけです。
問題が生じるのは、siegmundさんのおっしゃるように、我々の知識における定義の変更の方でしょう。
物理の世界ではベクトル積で表される式がいっぱいあるわけですから、角運動量の向きを逆にすると、ベクトル積の定義を変えなければならないので・・・えらいことになっちゃいそう^^;

ただこのベクトル積によって表された角運動量ベクトルは、実際の運動平面の”法線”を必ず示すことになり、その大きさ|r×P|も、回転運動に関する量であることから、角運動量ベクトルを解析することで、その運動について議論できる、という仕組みになります。
ちなみにrの取り方は任意であるため、r×P だけでは回転軸そのものを表すことはできません。
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どうやら,ryumu さんのかかれている意図の質問のようですね.



> 人工的に作られたベクトルの方向というのは何に対応しているのでしょうか?

回転軸の方向です.

> もし角運動量の向きが正と負逆だったら何か問題があるんですか?

なにも問題はありません.どう定義するかだけの問題です.
ただし,逆に定義し直すと,
世界中の角運動量(だけじゃすまないですが)関係のすべての本,機械,プログラム,
など全部変更しないといけません.

今の選び方はもともと xyz の直角座標系のとり方に準拠しています.






└────x

と座標軸をとって,z軸は画面垂直手前向きです.
向こう向きにとって悪い理由はありませんが,習慣でいまさら変えられないでしょう.

---------------

簡単に平面上の円運動だとしますと,
運動の方向はどんどん変わっていきますから,
運動方向(or 運動量)で円運動を表すのはうまくない.
運動の平面ということならよさそうですね.
その平面上の1次独立な2つのベクトルが平面を規定しますが
(同じことですが,平面上の相交わる2直線,と言ってもよい),
2つのベクトルの選び方は無数にあります.
かわりに,垂線を使えば,ただ1つのベクトルで面の向きが指定できます.

角運動量は,擬ベクトル(or 軸性ベクトル)と呼ばれる範疇のベクトルで,
座標軸の回転に関しては普通のベクトル(極性ベクトル)と同様の変換をしますが,
座標反転(x → -x,etc)の関しては符号を変えません.
普通のベクトルはもちろん符号を変えますね.
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yohei123さんの言いたいこと、何となくわかります。



たとえば運動量だったら、その向きは運動の向きなのに、
角運動量の向きって、運動の向きと垂直だけど、それがいったい運動とどういった関係が・・??
ってことじゃないですか?

角運動量の向きは、回転軸の向きということは、すでにseigmundさんが答えられていますね。
では、角運動量の向きはなぜ回転軸の向きになるのか??

たとえば、位置r=(x,y,z)にある物体が、運動量P=(px,py,pz)をもって、xy平面上を運動(回転である必要はない)をしているとすると(r,Pはすべてベクトルです)、その角運動量は、

 Lxy=x・py-y・px

と表せて(これはスカラー量)、それはベクトル積r×Pの”z成分”に他ならない、ということになります。

ベクトル積というのは、ある二つのベクトルから、それらに垂直なベクトルを”人工的に”作り出すものです。
ベクトル積によってつくられるベクトルを疑似ベクトルといって、ベクトルと同じ性質をもっています。
角運動量の場合、ベクトル積を使うことで、(偶然?)運動平面に対しての垂線方向、つまり回転軸方向とその大きさを対応できた・・・ってことではないでしょうかね?

この回答への補足

人工的に作られたベクトルの方向というのは何に対応しているのでしょうか?
もし角運動量の向きが正と負逆だったら何か問題があるんですか?

補足日時:2001/06/18 00:01
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No.1の方と同様質問の意図が今ひとつ分かりません。


次のような話で参考になるでしょうか?

昔、子供たちが、コマで遊んでいたときに、5歳の幼稚園児が巧みな技で相手のコマを倒していました。その子供はどこでその技を身につけたか分かりません。

コマが向こう側に倒れたときに、こちらから、コマを当てたら、相手のコマは向こうに倒れると思いますが、実際は、コマはぐるぐる頭が回るだけで倒れません(歳差運動)。この子供は、右横に傾いたときに、自分のコマを当てるといとも簡単に倒れるではありませんか?このとき、左に傾いたときに、当てると、そのコマは起きてしまいます。倒されるコマの回転の向きが関係します。逆回転と左に傾いたときに当てないとダメです。

そのコマの角運動量の方向はz方向だとし、横から当てたとき、それはコマを回転させようとしますので、そのモーメントはx方向とするとそのコマはy軸方向に力のモーメントを受けます。この力のモーメントがコマを倒してします。

実は、この技、角運動量の向き(sense)が関係しているのです。コマの場合、方向(direction)は上下ですが、向きは「下向き」「上向き」が考えられます。

昔、バイクのエンジンが回転軸が前後になるようなものがありました。これは聞いた話ですが、右と左にカーブするときは、角運動量の向きのために、運転の感覚が微妙に違うそうです。そのためか知りませんが、現在は、このようにエンジンをつけてあるバイクはないのではないでしょうか?(確認はしていません)

上の現象を実感したければ、宇宙ゴマというもので実験して下さい。その原理を応用したものに、モーメンタム・ジャイロでロケットの制御をしていました。今では、もっと精度の良い光センサーを使っているようです。船の羅針盤もジャイロではなかったでしょうか?

gooのトップページで、「ジャイロ」という項目で検索すると沢山ヒットします。参考にして下さい。
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どういう回答をもとめておられるのか,ちょっとわからないところもありますが...



角運動量の方向は回転の軸の方向です.
例えば,xy 平面上の円運動だったら,回転軸はz軸ですね.
z軸の正負の方向の選び方がありますが,
回転と同じ方向に右ねじを回したときに進む方向を選んでいます.
つまり,反時計回り場合はz軸の正の方向,
もし時計回りならz軸の負の方向です.
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。質問わかりにくくてすみませんでした。

お礼日時:2001/06/17 23:52

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> そのベクトルの向きに右ネジをネジ込むと考えたときに回転する方向であり、

その通りです.
回転関係を力や運動量で表そうとすると,
例え平面上の回転でも方向が次々変わっていってしまいます.
軸で考えればそういう面倒はないということです.

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91413
にベクトルとしての角運動量の方向についての議論があります.
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
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慣性モーメントの定義から入りましょう。
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dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
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となるわけです。
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ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

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ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

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次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
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Q角速度のベクトルの方向は何故回転軸なんでしょうか

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そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
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 http://www.keirinkan.com/
   ↓
  化学(2)
   ↓
 共有結合によって結びついた物質
以上、ご参考まで。

参考URL:http://www.shse.u-hyogo.ac.jp/kumagai/eac/chem/lec6-2.html

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
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(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
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Aベストアンサー

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(4)
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(2)
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また、例えば棒が壁にたてかけてあるときのように、棒が斜めになっているときの力の回転の向きはどうなるのでしょうか。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2896553.html

どなたか分かる方にアドバイスを頂きたいです。よろしくお願いいたします。

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