分解能について（フーリエ変換）

フーリエ変換について、時間分解能Δtと周波数分解能Δfについて、
両立は難しいと言われますよね。

サンプリング周波数 f_s
データ数 N

とすると、

Δf = f_s/N

Δt = 1/f_s

だと思うのですが、それならば、両立する条件として、

Δf × Δt = 1/N

でデータ数 N を単に増やすだけで解決すると思うのですが、
何か考え方が間違っていますでしょうか？

詳しい方、よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  うーん、すいません。例えば、
  
  f_s = 1000 Hz
  N = 100
  
  の時、信号の継続時間は N/f_s = 0.1 s ですよね。
  だから、その長さで波がすっぽり入る限界の周波数、
  Δf = f_s/N = 10 Hz なのは分かります。
  それ以下の周波数はうまく扱えませんからね。
  
  しかし、
  Δt = 1/f_s = 0.001 s の細かさまで信号は扱えるのではないですか？
  なぜ
  NΔt = N/f_s = 0.1 s が基準になってしまうのでしょうか？
  
  リアルタイムとおっしゃる意味がよく分かりませんでした。
  もう少し詳しくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/31 20:26

• なるほど、そういうことだったんですね。
  音楽ファイルは一定時間ごとにスペクトルが変動する。
  という視点が抜けていたようです。
  
  最後にもう一点だけお願いします。フーリエ変換ってやつは、
  時間変化を記録する時に積分して周波数成分の大きさを調べると思いますが、
  「一定時間NΔt」の間の時間変化を表現するのですよね？それなら、
  そのNΔtを大きくしていけば、「時間変化しない一組の」フーリエ成分で
  完全に音が再現できると思うのですが、どうなんでしょう？
  
  理論上は、CDの最大録音時間 74分 を一組のフーリエ変換の成分で、表現できませんか？
  もしかして、行列のサイズが　k×k　だから（？）計算の手間が膨大になってしまうのでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/01 00:08

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/31 21:16

>Δt = 1/f_s = 0.001 s の細かさまで信号は扱えるのではないですか？

いや、例えばバイオリンのビブラートを測定したいとします。
つまり周波数成分の時間変化を知りたい。
この時積分範囲を大きくして周波数の精度を上げようとすると
積分範囲がビブラートの周期を超えて、時間変動が
積分の中に埋もれてしまいます。

つまり、ここでいう、時間分解能とは、積分間隔のこと。
サンプリング間隔はどうでもよいのです。

この回答へのお礼

疑問はまだ残りますが、新しい視点を頂けて、
とてもありがたいです。どうもありがとうございました。

お礼日時：2016/02/04 23:06

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/29 21:10

両立というのはスペクトラムの時間変動を

リアルタイムにみたい ということなのです。

つまりΔfを保ちつつ、ΔtNを小さくしたい
という事。でも

△f△tN=1

なのでどちらかを犠牲にするしかないのです。