プロが教えるわが家の防犯対策術!

加速度の定義式 a= dv / dt を変形して dv = a*dt とし、両辺を不定積分することによって
v= a*t + C が導かれる。

同様に、速度の定義式 v = dx / dt を変形してから、両辺を不定積分することによって x= vo*t + 1/2*(a*t^2) + C' が導かれる。

との記述がありました。
 
わたくしは、理系大学に入ろうかと独学している人間です…が、
「両辺を異なる文字で積分すること」「分母?の dt を移項できること」など、
よく分かりません…。
 
要は、「d」が出てきたら、「極限」を考えているのだから!

という理由で、上記2つの疑問は解決すると見なせるのでしょうか?
移項する場合、dt は「数」扱いなのですか?

あと、これはオマケですが、そもそも「両辺を積分しよう」という発想自体どこから…。
常に積分したくなってくるんじゃあないでしょうか…

こういったことを気軽に独学できる書籍はありますか?
それとも大学受験のためだけの勉強をしている人間は、
さらっと流すところなのでしょうか?

m(__)m よろしくお願いします。独学、発狂寸前ですぅ…。


下記にも同じ質問がありましたが、答えにはなっていないような…
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    「加速度の定義式 a= dv / dt を変形して dv = a dt とし、
     両辺を不定積分することによって
      ∫ dv = ∫ a dt
     加速度は一定だから a を外に出し、左辺はv 右辺は at + C となる。
     よって、v= a*t + C が導かれる。」

    とあります。
    まず、一行目の、dv = a dt の 「a dt」 というのは、
    「a × dt 」の意味である。というのは間違いありませんか…?

    数学は、白チャートや長岡亮介さんの書籍で基礎積みしていたのですが
    よくわからなかったので、物理から攻めていたのです…。

      補足日時:2016/03/24 10:02
  • どう思う?

    高校と大学の架け橋みたいな、邦訳本があればワクワク嬉しいのですが…。
    高校レベルの無機質な計算で、嫌になってしまう自分が何ともクセモノです…。

      補足日時:2016/03/24 17:29

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A 回答 (8件)

これは数学の問題です。


数学の極限、微分積分を学んで下さい。
物理は理論の一般化を数学を使って行っているに過ぎません。

a=dv/dt

a はvの微小変化をtの微小変化で割った値に等しい、と言う意味ですから。
vの微小変化dvはaとtの微小変化dtの積に等しいのは当たりまえですね。
単なる数式の変形です。

dv=a*dt なら
その左辺のvに関する総和と右辺のtに関する総和も等しくなります。
総和の極限が積分ですから、左辺のvに関する積分は右辺のtに関する積分は当然等しい。
独学も結構ですが、物理を学ぶには数学に習熟しておくことが必要です。
勉強の順番を間違えてませんか?
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この回答へのお礼

ありがとう

実に、uen_sapさんがお答え下さっているようなことが
書かれた数学本があればよいのですが、
存じないのです…。(´;ω;`)
 
なんとなく「当たり前」だと感じられない部分もあります…。

こういうふうに「当たり前なんだよ~」と言って下さる方がいると、
まあ呑み込めなくもないんですが…

お礼日時:2016/03/24 10:19

数学カテで聞いたら、もっと納得のいく回答がつくかもしれません。



http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2170369.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/236331.html
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この回答へのお礼

ありがとう

ナイスです! みんな優しい!

お礼日時:2016/03/25 18:11

「高校と大学のかけ橋」になる本を探されているようですが、最近はその手の「もう一度学び直し」とか、「昔習ったことをもう一度おさらい」的な本が結構たくさん出ています。



微分、積分を、物理に応用する「物理数学」の観点で再確認する内容の下記の本は、そこそこに分かりやすかったですよ。(微積分以外に、「ベクトル解析」「複素関数」などが載っています)
「理系なら知っておきたい物理の基本ノート・物理数学編」
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83 …

読んでいませんが、類似のこんな本も。
http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E5%85 …

また、よく分からない物理数学の概念を「直観的」に説明した下記の本は、読んでみる価値があると思います。
「物理数学の直感的方法」(ブルーバックス)
http://www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC-%E7%89%A9%E7%9 …
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この回答へのお礼

ありがとう

ナイスですぅ!…ああ、もっと早くみなさんに出会いたかった…。
 
ううむぅ。レベルが合ってないと死にますからね…慎重に選ばなくては…( ´艸`)

お礼日時:2016/03/25 18:17

本を探されているようですが、高校の教科書を買うのが一番です。

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この回答へのお礼

ありがとう

なるほどぅ。
白チャート以前の事が書かれているんですかね?
白チャートがスタートラインかな、と、わたくし勝手に思っていました!

お礼日時:2016/03/25 18:20

右辺と左辺を間違えたんで訂正。



”そして、Σを取っている(Δt)iは、Δtをさらに細かく分割したものです。左辺の(Δv)iも同じことをΔvに対してしています。”

ついでだからちょっと説明すると、非常に小さいΔtとΔv(極限ではなく非常につ小さいtとvの変位)を考えると、
a =~ Δv/Δt (極限ではないので、あくまでもほぼ等しいということで、イコールではない)

ΔvとΔtはある小さい「数」なので、単純にa*Δt =~ Δvという変形ができる。

Δtをさらに細分化してやってそれらの和と考えると、Δt = Σ(Δt)i。
同じことをΔvに対しても行う。
そうすると、a*Δt =~ Δvは、
a*Σ(Δt)i =~ Σ(Δv)i
となる。

Δがきわめて小さい(極限)とすれば、Σ(Δt)iは時間で積分するのと等価(細かい短冊を足していけば結局積分になるわけだから)で、Σ(Δv)iは速度で積分するのと等価。
よって、
∫dv = a*∫dt
とできる。



> 両辺を積分しよう」という発想自体どこから

式の中に微分が入っているので(つまり微分方程式)、微分を取っ払おうとすればまず積分しようとするのが自然な考えだと思います。それが積分をする発想。
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この回答へのお礼

ありがとう

「=~」 は approximately の意味ですね。

>12番目の回答のΔW…

「環」なんて知りまへん…
ちょっと大学の数学に触れたいような
気分になってきますね!

お礼日時:2016/03/25 12:38

疑問はよくわかるよ。

なぜ、極限なのに普通に掛けたり割ったりできるのか、そのうえで、なぜ両辺と異なる変数で積分できるのか。厳密に証明しようとしたら高校数学の範疇ではなくなるような気がする。

英語で読む気ある?
10番目の回答が簡易に証明しているので、それだけでも読んでみては?
あと、12番目の回答のΔWがでてくるあたりも参考になると思います。
https://www.physicsforums.com/threads/dv-dt-must …
まずミソは、dtではなくΔtとして、極限ではなくきわめて小さい値として扱っている点。
そして、Σを取っている(Δt)iは、Δtをさらに細かく分割したものです。右辺の(Δv)iも同じことをΔvに対してしています。
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この回答へのお礼

英語が好きなのでワクワクしましたが、Riemann integral については多分、
お手上げかな…という感じですぅ。( ´艸`)
高校と大学の架け橋みたいな邦訳本があれば嬉しいのですが…。

さて読んでいきますと… 
If the ( Δ v ) i (Δv)i are small, ...の下りは、
いきなりの誤植でしょうか ∫の t と v が違うんじゃないですか???

とにかくとにかく、
dt と Δt の違いなんて知りませんでした…それだけでも大収穫です!

お礼日時:2016/03/24 17:26

ん? ちょっと待て.



加速度は速度を時間で微分すればいいから, 加速度を a, 速度を v, 時間を t とおけば
a = dv/dt
と書ける. それはいい. でも, 本来この a は t の関数だから「不定積分」して v= a*t + C というのは乱暴すぎる. 何か前提が必要だぞ.

さておき.

「a = dv/dt から dv = a dt を積分して~」というのは, いろいろと説明することができる. ただ, どうにも引っかかるというなら
a = dv/dt の両辺を t で積分して ∫a dt = ∫(dv/dt)dt = ∫dv
(後ろの = は置換積分による) と考えるのがシンプルかもしれん.
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この回答へのお礼

ありがとう

全然分かりません…(´;ω;`)
でも置換積分を学ぶ気になりましたぁ!!感謝!

お礼日時:2016/03/24 10:21

a=(d/dt)v


ですので、両辺をtで不定積分することによって、
at+C=v
となります。

物理をやる前に、数学の微分積分をきっちりやったほうが良いと思います。
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この回答へのお礼

ありがとう

数学は、白チャートや長岡亮介さんの書籍で基礎積みしていたのですが、
「意味」が全くわからなかったので…嫌になりつつ物理に走り、迷走しておりました…。

…前途多難ですぅ…(´;ω;`)

お礼日時:2016/03/24 10:26

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Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q両辺に不定積分を取ることにてです。

f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
は成り立ちますか?

あと、
定積分
f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx
は成り立ちますか?

(⇔:同値)

Aベストアンサー

>f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
は成り立ちますか?

積分範囲を確認する必要があります。

f(x)=g(x)   (1)

はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。

逆に(1)の成り立つ範囲(a~b)に含まれる2点c,xを考えると

a≦x<c≦b

の条件下で

f(x)=g(x)⇔∫[c→x]f(x)dx=∫[c→x]g(x)dx

これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。



>f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx
は成り立ちますか?

上記の意味で成り立ちます。

Q導関数の記号 dy/dx の意味は?

高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか?

Aベストアンサー

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx = (df±dg)/dx
(df±dg)はどうしましょうか?
普通に考えると(df±dg)=d(f±g)としたいですよね。意味は
微分の加減算は加減算の微分といったところでしょうか?
実際これは正しい結果を与えます。
では分母が違う場合は?
df/dx ± dg/dy = (dfdy±dgdx)/(dxdy)
うーんこれはちょっとまずそうですね。
掛け算はどうでしょうか?
df/dx ・ dg/dx = (df・dg)/(dx・dx)
これもちょっと(左辺は数の掛け算ですが右辺は
なにやら極限操作のようなことをやっていますが意味が不明です)。
でも、
df/dy・ dy/dx =df/dx
ならOKです(通分できるならただしいようだ)。

という具合に一概に”本当の分数”とおいてはだめなことがわかります。
でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。
その性質はなにか? df +dg=d(f+g) だったり、df/dy・ dy/dx =df/dx
だったりです。df +dg=d(f+g) は、dxに関係なく(つまり下がdyだろうがdzだろうが
、しかも、xがどこの値のときでもお構いなしに成り立つ性質なので)
df、dgだけ数と見なせば都合が良いように見えます(ついでに定数を掛けても大丈夫です)。
一方、df/dy・ dy/dx =df/dxは変数をxからyに変換するような操作が割り算
(普通の数のようにできる)ことを示しています。
そこで、上のdf、dgと形を合わせてdf=(df/dx)dxやdf=(df/dg)dgという具合に表記すれば
df、dgを加減算のなかで数とあつかって、必要とあれば、ほかの変数にうつりあえるという、
えらく便利な「数」ができるわけです。
あとは、siegmundさんがおっしゃっているような、積分での変換の関係をうまく満たすように工夫
(ってちょっと面倒ですが)すれば、微積分に便利な「数」ができます。

という具合に、思ったことは試してみればよいのではないでしょうか?
自然科学や数学のよいとろこは、本人がどう思ったとしても、
それが間違いであればおのずとその間違いを正してくれることだと思います。
ですから、どんどん「思う」ことが大切なのではないでしょうか?
そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。
>私は、このことは重要なことだと思います。
というところに感銘したのはこういう理由です。

とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx...続きを読む

Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

Q積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

積分計算のdtとdxの違いがわかりません。
おはようございます。今日もよろしくお願いします。

積分の式を立てて、よく書き忘れてしまい、
前の問題の分も今、dtを書き足していたのですが、
問題集の解答を見てみると、dxになってました。
もしかして、自分がずっと間違えて覚えていたのでしょうか?
それとも、どっちでもいいのでしょうか?
何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか?
教えてください

Aベストアンサー

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明されました。日本では当然、日本語表記です。

でも∫とd(多分definiteの略)だけで、表すのが一番シンプルで分かりやすいからこれが普及したんじゃないですかね。∫の上と下に積分範囲を書くという直感的に分かりやすい記法ですし。

ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。

これからも、色んな疑問を投げかけて数学を好きになってください。

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明され...続きを読む

Q微分記号(dy/dx)について質問です。

微分記号(dy/dx)について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)

y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか?

dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、(右辺→左辺と見れば)置換積分の公式そのものです。


>あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。

Q微積分 dの意味

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

Aベストアンサー

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、
とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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