数IIIの積分の問題です。 (1)積分範囲 -√2/2〜1 ∫√(2-x^2)dx (

数IIIの積分の問題です。

(1)積分範囲 -√2/2〜1
∫√(2-x^2)dx
(2)積分範囲 -1〜1
∫dx/√(4-x^2)

授業では、y=√(2-x^2)は半円だから、絵を書いて面積を求めれば良いと教わりましたが、積分範囲的に無理そうです。
また、答えにはx=√2sinθとおいて考えるやり方が載っていましたが、x=2-x^2で置換積分するやり方ではダメなのでしょうか？
わかる方いたら教えてくださいm(._.)m

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2016/04/24 12:22

--答にはx=√2sinθとおいて考えるやり方が載ってたが、x'=2-x^2で置換積分するやり方ではダメなのか？--

(1)について・・、
実際その様に置換を試みたのだろうと思う(!?)が、質問者から見て積分しやすい形になってくれたのか・・？

素直にx=(√2)sinθ(x = (√2)cosθでも良いと思うが)で置換したほうが良いんでないの・・!?
∫√(2-x^2)dxを部分積分してみるという試みもあるけれど、計算量からしても言われたとおり行うのがいいように思うが・・!?

--授業では、y=√(2-x^2)は半円だから、絵を書いて面積を求めれば良いと教わりました--
π－{∫[-√2→-1/√2]{√(2-x^2)}dx＋∫[1→√2]{√(2-x^2)}dx}
・・を計算しろって事!?


因みに計算してみると(計算ミスってなければ!?)・・
(1)∫[-√2/2→1]{√(2-x^2)}dx = (2+√3)/4 + 5π/12
(2)∫[-1→1]{1/√(4-x^2)}dx = π/3

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございますm(._.)m 確かに図で書くより答えのやり方の方が確実ですね！本当に助かりました！

お礼日時：2016/04/25 21:15

No.3 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/24 23:44

(1) はまず, xy 平面上に原点 O, 半径 √2 の円の上半分を描いてみましょう。

その半円の周上に２点 A(1, 1), B(-(√2)/2, (√6)/2) を取ります。
さらに, A から x 軸におろした垂線の足を C, B から x 軸におろした垂線の足を D とします。
求める定積分は, 扇形OAB, △OCA, △OBD の面積の和となります。
扇形OAB の中心角は簡単に求められるし, △OCA と △OBD はどちらも三角定規の形をしています。
面積はそれぞれ, (5π)/12, 1/2, (√3)/4

＞x=2-x^2で置換積分するやり方ではダメなのでしょうか？
t = 2 - x^2 と置換するやり方、の書き間違いでしょうか。
どちらにしても、その方法では上手くいかないみたいです。

(2) は (1) と違って、グラフを描いて面積を求める方法は、あまり得策ではないでしょう。
偶函数の性質を利用して積分区間を [0, 1] にした上で, x = 2sinθ と置換するのが最も簡単です。

この回答へのお礼

(1)はグラフに書いても解けるんですね！
偶函数の性質はまだ習っていないのですが、またやってみようと思います！たくさん問題に取り組んでいろんな解き方に慣れるようがんばります、本当にありがとうございましたm(._.)m

お礼日時：2016/04/25 21:19