複素積分の問題です

Question

次の値を求めたいのですが

∫ sin z / sin z^2 dz 

積分路は|z|=1　で向きは正の向きに一周するもの

です。

ｚ＝０で特異点をとるのでマクローリン展開しましたが、分母分子がｚの多項式になってしまい留数をうまく求めることができません。

ｚ＝ｘ+iyとして計算してみたりもしましたが積分範囲が良くわかりませんでした。

部分積分しても意味はありませんでした。

いろいろ試行錯誤したつもりですがどうもうまくいきません。

どなたかお暇であれば教えていただければと思います。よろしくお願いします。

sakura_214 · Accepted Answer

> ｚ＝０が位数１の極であることはどうすればでてくるのですか？

sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-…
なので
sin(z)/sin(z^2)=(z-z^3/3!+z^5/5!-…)/(z^2-z^6/3!+z^10/5!-…)
=(z*(1-z^2/3!+z^4/5!-…))/(z^2*(1-z^4/3!+z^8/5!-…))
=(1/z)*(1-z^2/3!+z^4/5!-…)/(1-z^4/3!+z^8/5!-…)
なので，z=0は1位の極であると推測できます．（大雑把に言えばsin(z)～zよりsin(z)/sin(z^2)～1/z）

ある程度位数に予想がついたら，そのまま留数を求める関係式に入れて計算してしまいましょう．というのは，そもそも留数はローラン展開したときの1/(z-a)の係数ですが，これを求める関係式の原理は，
(1) 位数分だけ(z-a)をかける → ローラン展開式を整関数にする．
(2)（位数が２以上のとき）（位数－１）回だけzで微分する → ローラン展開時の-2次以下の項をすべて消し，かつ定数項にローラン展開時の-1次の係数をもってくる（ただし補正は必要）．
(3) 最後にｚ→aとする → ローラン展開時の0次以上の項はすべて0となって消える．
となっています．逆に言うと，もし位数を誤って（例えば位数を少なく見積もって）留数を求める関係式に代入したら，(1)は整関数にならず1/z以下の項がのこることになるので，最終的(3)において発散してしまいます．つまりこの計算で有限確定値（ただし0の場合は例と逆のケースも考えられるので不定）になれば，その極の位数はそれでよかったと判断することができます．

grothendieck · Answer

lim (sin z)/z → 1　(z→0)
を前提とすれば
　Res{sin z /sin z^2}
 = lim z(sin z /sin z^2)
 = lim (sin z /z)(z^2/sin z^2) → 1　(z→0)
なので
　∫sin z / sin z^2 dz = 2πi
とすれば良いのではないでしょうか。

siegmund · Answer

積分路内の特異点は z=0 のみであるのはＯＫですね．
z=0 の周りの展開が
(1)　　sin z = z - (1/3!)z^3 + O(z^5)
(2)　　sin z^2 = z^2 - (1/3!)z^6 + O(z^10)
ですから，z=0 付近では問題の関数は 1/z のように振る舞います．
つまり，
(3)　　(sin z) / (sin z^2)
　　　　= (1/z) {1 + O(z^2)} {1 + O(z^4)}^(-1) 
　　　　= (1/z) + O(z)
とローラン展開できます．
したがって，極は１位で，留数は１．

grothendieck さんが
> lim (sin z)/z → 1　(z→0)
> を前提とすれば
と書かれていることと本質的に同じことなのですが．

複素積分の問題です

lim (sin z)/z → 1 (z→0)

この回答への補足

積分路内の特異点は z=0 のみであるのはＯＫですね．

> ｚ＝０が位数１の極であることはどうすればでてくるのですか？

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